06. Тема 3. Задача решения систем линейных уравнений

1. Рассмотрим задачу межотраслевого баланса Леонтьева (см. [5, 6]). Для поиска вектора валового выпуска X требуется решить систему

X = AX + Y или (I–A)X = Y,

(3.1)

Где матрица A и вектор Y известны, а вектор . Если система имеет небольшую размерность, то ее решение не представляет сложности, однако если число неизвестных велико, то для ее решения можно воспользоваться методом Гаусса или методом простых итераций (см. Л3). Продемонстрируем метод на примере трехсекторной модели экономики. Пусть задана продуктивная матрица A и вектор Y:

Расчеты методом Гаусса приведем в табл. 4. В исходной части записываем расширенную матрицу системы.

Таблица 4

Итерация №	X1	X2	X3	Y
Исходная Система	0,8 –0,5 –0,3	–0,4 0,9 –0,2	–0,3 –0,1 0,6	20 40 50
1	1 0 0	–0,5 0,65 –0,35	–0,375 –0,2875 0,4875	25 52,5 57,5
2	1 0 0	–0,5 1 0	–0,375 –0,4423 0,3327	25 80,77 85,77
3	1 0 0	–0,5 1 0	0 0 1	121,68 194,8 257,8
4	1 0 0	0 1 0	0 0 1	219,07 194,8 257,8

Первую итерацию начинаем с выбора ведущего элемента .
Далее разделим первую строку на этот элемент, а затем прибавим ко второй строке первую, умноженную на 0,5; к третьей строке прибавим первую, умноженную на 0,3. В результате элементы и стали равны нулю.
На второй итерации с помощью элемента приводим матрицу
к верхней треугольной матрице. Все преобразования одновременно совершаются и для вектора Y.

На третьей итерации осуществляем обратный ход: из последнего уравнения находим X3, разделив его на элемент , затем ко второй строке прибавим третью, умноженную на , то же самое проделываем
с первой строкой с помощью . В результате мы обнулили элементы третьего столбца. На четвертой итерации обнуляем ненулевые элементы второго столбца и получаем единичную матрицу на месте исходной матрицы системы, а на месте вектора Y решение системы. В результате . Полученное решение является приближенным, поскольку все вычисления проводились только с пятью цифрами после запятой.

Теперь решим систему (3.1) методом простой итерации. Поскольку система (3.1) имеет вид (Л3.10), ее не надо приводить к виду, необходимому для применения метода простой итерации. Зададим точность вычислений и будем проводить вычисления до тех пор, пока не будет выполнено условие .

Вычислим норму матрицы , следовательно, условие сходимости метода простой итерации (см. теорему из Л3) выполнено.

По формуле (Л3.11) проводим вычисления для . Начальный вектор зададим равным свободному вектору Y, т. е. . Данные расчетов занесем в табл. 5.

Таблица 5

K
0	20	40	50	–
1	55	59	84	35
2	79,8	81,8	111,9	27,9
3	102,5	99,7	135,6	23.16
4	120,676	114,558	154,553	19.493
10	184,193	166,331	221,19	6,906
20	212,878	189,74	251,299	1,227
22	214,689	191,218	253,199	0,868

Расчет закончен, поскольку условие выполнено. Как видно из таблицы, скорость сходимости к решению у метода простых итераций достаточно медленная и очень сильно зависит от начального приближения.

2. Предприятие состоит из двух основных цехов и одного вспомогательного, каждый из которых выпускает один вид продукции. В табл. 6 указаны расходные коэффициенты («прямые» затраты) единиц продукции I-го цеха, используемых для выпуска единицы продукции K-го цеха,
а также число единиц продукции I-го цеха, предназначенных для реализации (конечный продукт).

Таблица 6

Цехи	Прямые затраты
1	2	3
1	0	0,2	0	200
2	0,2	0	0,1	100
3	0	0,1	0,2	300

Определить коэффициенты полных затрат и валовой выпуск для каждого цеха.

Решение. Обозначим производственную программу предприятия
через , где — валовой выпуск продукции I-го цеха,
а через план выпуска продукции, также введем матрицу . Тогда производственные взаимосвязи могут быть представлены системой уравнений:

X – AX =Y .

Для решения этой системы найдем обратную матрицу методом Гаусса. В табл. 7 приведен алгоритм преобразования методом Гаусса матрицы A в единичную, который одновременно превращает единичную матрицу в . Сначала приводим матрицу A к верхней треугольной,
а затем к единичной.

Таблица 7

Итерация №	Матрица A	Матрица I
Исходная Система	1 –0,2 0 –0,2 1 –0,1 0 –0,1 0,8	1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 -0,2 0 0 0,96	–0,1 0 –0,1 0,8	1 0 0 0,2 1 0 0 0 1
2	1 –0,2 0 0 1 –0,1042 0 0 0,7896	1 0 0 0,208 1,042 0 0,0208 0,1042 1
3	1 –0,2 0 0 1 0 0 0 1	1 0 0 0,2107 1,0557 0,132 0,0263 0,132 1,2664
4	1 0 0 0 1 0 0 0 1	1,042 0,211 0,0264 0,2107 1,0557 0,132 0,0263 0,132 1,2664

Матрица представляет собой коэффициенты полных внутрипроизводственных затрат. Для определения валового выпуска вычислим:

.

Задачи для самостоятельного решения по теме 3

1. Методом Гаусса и простой итерации (в качестве начального приближения взять решение из метода Гаусса и вычесть по 20 из каждого значения этого решения, затем сделать пять итераций) найти валовой выпуск Х для значений

.

2. Методом обратной матрицы найти коэффициенты полных затрат
и валовой выпуск продукции для каждого цеха, если матрица расходных коэффициентов и вектор конечного продукта равны:

.

< Предыдущая		Следующая >