05. Тема 2. Методы решения алгебраических уравнений

1. Пусть функции спроса и предложения имеют вид , , где Р — цена продукции. Найти равновесную цену .

Решение. Для поиска нужно решить уравнение или . Воспользуемся методами решения алгебраических уравнений, рассмотренных в Л2.

Получим решение методом дихотомии и методом Ньютона.

Для применения метода дихотомии нужно указать отрезок, в котором находится корень уравнения. Поскольку и ,
то на отрезке по теореме 1 из Л2 функция имеет хотя бы один корень. Погрешность вычислений зададим равной 0,5. В табл. 1 приведены итерации метода дихотомии.

Таблица 1

Итерация №
1	160	170	165	10
2	165	170	167,5	5
3	165	167,5	166,25	2,5
4	165	166,25	165,625	1,25
5	165,625	166,25	165,9735	0,625
6	165,625	165,9735	165,78125	0,3485

Поскольку , вычисления можно закончить и положить .

Для применения метода Ньютона нужно задать начальную точку.
Выберем . Далее используя алгоритм метода Ньютона (см. [Л2.4])

,

Получим значения, которые приведены в табл. 2. Здесь . Условием окончания итерационного процесса выберем .

Таблица 2

Итерация №
1	160	—	—
2	165,892	5,892	0,267
3	165,953	0,055	0,0027

Методом Ньютона найдена точка . Этот метод сходится значительно быстрее метода дихотомии, но для его реализации потребовалось вычисление производной функции . Кроме того, проверка достаточного условия сходимости метода: является задачей достаточно сложной. Для нашей задачи это условие выполнено, по крайней мере, на отрезке .

2. Пусть производственная функция имеет вид CES-функции (см. [5, 6]). Определить, какое количество капитала K нужно вложить, чтобы при значении валовой выпуск продукции стал равен 45.

Решение. Чтобы найти значение капитала K, нужно решить уравнение . Найдем его решения методом секущих (см. Л2). Зададим две начальные точки и и точность вычислений . Результаты вычислений приведены в табл. 3.

Таблица 3

Итерация №
1	1	—	—
2	3	2	9,405
3	5,674	2,674	12,904
4	7,268	1,594	4,472
5	8,415	1,147	2,279
6	9,081	0,666	0,473
7	8,996	0,089	0,126
8	9,000	0,004	0,006

Из таблицы видно: 1) сходимость метода секущих может быть немонотонной, особенно в начале итераций; 2) метод секущих сходится медленнее, чем метод Ньютона, но не требует вычисления производной функции.

Задачи для самостоятельного решения по теме 2

1. Пусть функции спроса и предложения имеют вид , , где Р — цена продукции. Найти равновесную цену ,
используя метод дихотомии и метод Ньютона.

2. Пусть производственная функция имеет вид . Определить, какое количество капитала K нужно вложить, чтобы при значении валовой выпуск продукции стал равен 30. Для решения уравнения использовать метод секущих.

< Предыдущая		Следующая >