40. Игра инспектирования

Имеется два лица: инспектор и нарушитель. Нарушитель (первый игрок) может совершить одно нарушение в один из периодов времени: 1, 2, …, n. Инспектор (второй игрок) может осуществить одну проверку в любой из этих периодов времени. Если инспектор и нарушитель действуют в один интервал времени, то считается, что нарушитель пойман и наказывается штрафом. Если инспектор и нарушитель действуют в разные интервалы времени, то нарушитель получает некоторую прибыль от своего нарушения. Если инспектор и нарушитель бездействуют, то нарушитель остается без прибыли.

Для формализации рассматриваемой ситуации каждому из N интервалов времени поставим в соответствие один шаг N-шаговой игры An, активным действиям первого и второго игроков - первые стратегии игроков, пассивным действиям - вторые их стратегии. Анализ игры на первом шаге показывает, что если активно действуют оба игрока, то выигрывает второй игрок. Если первый игрок применяет свою первую стратегию, а второй - вторую, то выигрывает первый игрок; если первый игрок бездействует, а второй проводит инспектирование, то второй игрок ничего не выигрывает на этом шаге, а первый игрок на любом другом шаге выигрывает, поскольку второй игрок исчерпал свои возможности активных действий. При применении обоими игроками своих вторых стратегий действия переносятся на второй период времени, где должна разыгрываться игра AN–1, имеющая N – 1 шаг. Для упрощения последующих вычислений положим, что выигрыши первого и второго игроков одинаковы и равны единице, в этом случае рассматриваемая ситуация формализуется с помощью матрицы:

(4.1)

Для определения цены Vn N-шаговой игры An необходимо знать только цену VN–1 игры AN–1, имеющей на один шаг меньше. Для определения взаимосвязи между Vn и Vn-1 воспользуемся известными соотношениями ((3.30) – (3.32)) для цены игры и компонент смешанных стратегий первого и второго игроков матричной игры размера 2 ´ 2:

В результате получим:

(4.2)

(4.3)

В одношаговой игре с одним периодом (N = 1) матрица (4.1) принимает вид:

Игра A1 имеет седловую точку и цену игры V1 = 0. Зная цену одношаговой игры и используя соотношение (4.2), получим цену двухшаговой игры: V2 = 1/3. Аналогичным образом можно получить цены игр при N = 3, 4, 5, 6, … . В результате вычислений получим следующий ряд цен игр:

V1 = 0, V2 = 1/3, V3 = 2/4, V4 = 3/5, V5 = 4/6, V6 = 5/7, … . (4.4)

Анализ ряда (4.4) показывает, что в общем случае цена Vn N-Шаговой игры An может быть описана соотношением:

Зная цену игры на каждом шаге, с помощью соотношений (3.30), (3.31) получим компоненты смешанных стратегий обоих игроков для любого шага N‑Шаговой игры An

(4.5)

Анализ выражений (4.5) показывает, что вероятность применения первых стратегий игроков увеличивается с каждым шагом игры и достигает 1/3 на предпоследнем шаге. Если игра не заканчивается на этом шаге, то на последнем шаге N-Шаговой игры существует седловая точка и первый игрок вынужден применять свою вторую чистую стратегию, а первый игрок - свою первую стратегию.

< Предыдущая		Следующая >