39. Многошаговые и бесконечные Антагонистические игры. Многошаговые игры

Многошаговые игры - огромное море знаний, рожденное не столько любопытством отдельных ученых, сколько потребностями человеческого общества. Например, многошаговые игры, да и вся теория игр, еще до второй мировой войны находилась на вооружении командования вооруженных сил США. Устав вооруженных сил США способствовал применению и развитию теории игр, поскольку требовал от командиров выбирать линию поведения, учитывающую возможности противника. В настоящее время развитие теории игр вызвано потребностями конкурентной борьбы за рынки сбыта как между отдельными фирмами, так и между государствами и их союзами. Из всего множества многошаговых игр рассмотрим только некоторые игры, являющиеся обобщением матричных игр.

Игра называется многошаговой, если хотя бы один из игроков делает больше одного хода.

Многошаговые игры, в отличие от матричных, описываются более сложными математическими моделями. В частности, это могут быть последовательности матриц или более сложные матрицы, содержащие в качестве своих элементов другие матрицы. В многошаговых играх, описываемых с помощью математических моделей второго вида, на каждом шаге разыгрывается одна или несколько отдельных игр. После выбора игроками стратегий на текущем шаге в каждой игре определяется или выигрыш в виде числа, если игра заканчивается на этом шаге, или осуществляется переход к розыгрышу одной или нескольких игр следующего шага. Например, игра может быть представлена матрицей

A =.

Здесь A11, A22 - действительные числа, определяющие выигрыш первого игрока, если игроки одновременно выбирают соответственно свои первые или вторые стратегии; A1, A2 - игры, которые необходимо разыгрывать, если, соответственно, первый игрок выбирает свою первую стратегию, а второй - вторую, или наоборот, первый игрок выбирает вторую стратегию, а второй - первую.

Игры A1, A2, в свою очередь, могут не заканчиваться определением выигрыша первого игрока в каждой игре на втором шаге, а требовать розыгрыша одной или нескольких игр на третьем шаге.

Пример 4.1. Рассмотрим в качестве примера трехшаговую игру со следующими матрицами:

Для оптимального поведения в такой многошаговой игре необходимо вначале определить цены V3, V4 игр A3, A4, затем определить цены V1, V2 игр

И после этого решить матричную игру

В рассматриваемом примере все игры имеют седловые точки, поэтому несложно получить: V4 = 9; V3, = 3; V2 = 1; V1 = 3; VA = 3.

Таким образом, для решения многошаговой игры с конечным числом шагов, математическая модель которой представляет собой матрицу, содержащую в качестве элементов одну или несколько других матриц, необходимо решить матричные игры (или одну игру) последнего шага. Подставить полученные численные значения цен игр в матрицы игр предшествующего шага, решить их и так далее до тех пор, пока не будут найдены численные значения всех элементов матрицы, описывающей многошаговую игру на первом шаге. Решение этой матричной игры и дает цену многошаговой игры, а также чистые или смешанные стратегии игроков на первом шаге.

Таким образом, многошаговые игры, у которых задано конкретное число шагов, имеют ясные алгоритмы своего решения. Более сложно решаются игры, у которых число шагов задается не конкретным числом, а в общем виде, например, игра имеет N шагов, где N может принимать произвольные значения. Общий метод решения таких многошаговых игр сводится к определению рекуррентных соотношений для вычисления цены игры и оптимальных стратегий игроков на каждом шаге. Однако не существует общих методов получения рекуррентных соотношений для подобных игр даже для случая игр размером 2 ´ 2. Рассмотрим пример решения подобной многошаговой игры.

< Предыдущая		Следующая >