03. Математические модели задач принятия решений

Для описания конкретной задачи принятия решений с помощью соотношения (1.2) необходимо задать три множества: множество , элементы которого описывают возможные исходы; множество альтернатив, находящихся в распоряжении у ЛПР; множество состояний внешней среды.

Альтернативы – это то, что выбирает лицо, принимающее решение, а исходы – то, к чему они приводят, при конкретном состоянии внешней среды.

В задачах принятия решений с конечными множествами X и A существует несколько видов зависимости исходов от альтернатив:

1. Наиболее простой вид связи альтернатив с исходами – каждая альтернатива приводит только к одному исходу. В этом случае существует функциональная зависимость исходов от альтернатив.

2. Второй вид связи исходит из предположения, что каждая из альтернатив может привести к одному исходу из некоторого множества A () исходов, каждый из которых имеет определенную вероятность появления. В этом случае имеет место стохастическая зависимость исходов от альтернатив.

3. При третьем виде связей альтернатив и исходов каждая из альтернатив также может привести к одному из нескольких исходов, однако при этом не известна даже стохастическая зависимость между исходами и альтернативами.

При этом полученный исход (состояние некоторой конкретной системы) определяется двумя факторами: выбором альтернативы, осуществляемым ЛПР, и состоянием внешней среды. Каждый исход Aij Î А в силу сказанного есть функция двух аргументов: AIj = F(XI, YJ), где XI (XI Î Х ) – выбранная альтернатива; Yj (Yj Î Y) – состояние внешней среды.

При первом виде связи альтернатив с исходами говорят, что решение принимается в условиях определенности, во втором – в стохастических условиях (условиях риска) и в третьем – в условиях неопределенности.

Информированность ЛПР о связи альтернатив с исходами может не совпадать с объективно существующей связью. Например, объективно существует стохастическая зависимость исходов от альтернатив, но лицо, принимающее решение, при выборе каждой конкретной альтернативы не знает вероятностей наступления исходов, поэтому для ЛПР условия принятия решения необходимо классифицировать как условия неопределенности. Таким образом, указанная классификация задач принятия решений связана с субъектом.

Наглядно связи между альтернативами и исходами можно представить с помощью функции реализации F(X, Y). Эта функция сопоставляет каждой паре альтернатива – состояние среды определяемый ею исход. Если множество альтернатив и множество состояний среды конечны, то удобно представлять функцию реализации F в виде таблицы (табл. 1.1). Эта таблица для конкретных рассматриваемых задач определяет их все возможные решения, поэтому её часто называют матрицей решений. Эти решения (результаты, исходы) должны допускать количественную оценку, и мы будем для простоты отождествлять эти оценки с соответствующими исходами.

Таблица 1.1

F(X, y)	Y1	...	YJ	...	Ym
X1	A11 = F(X1,y1)	...	A1J = F(X1,yJ)	....	A1M = F(X1,ym)
...	...	...	...	...	...
XI	Ai1 = F(Xi, y1)	...	Aij = F(Xi, yJ)	...	Aim = F(Xi, yM)
...	...	...	...	...	...
XN	AN1 = F(Xn, y1)	...	Anj = F(Xn, yJ)	...	Anm = F(Xn, ym)

Рассмотрим матрицу решений при различной информированности ЛПР о возможностях появления тех или и иных состояний внешней среды.

1. ЛПР знает состояние внешней среды, тогда исход (значение функции реализации) зависит только от выбираемой ЛПР альтернативы, т. е. получаем задачу принятия решения в условиях определенности. В этом случае таблица вырождается в один столбец, соответствующий состоянию среды на рассматриваемый момент времени.

2. ЛПР знает вероятности появления каждого состояния Yj () внешней среды. В этом случае, если выбрана альтернатива Xi, то для каждого исхода Ak Î А можно найти вероятность Pk его наступления. Для этого нужно отметить в I-й строке табл. 1.1 все клетки, где стоит исход АK, и просуммировать вероятности соответствующих столбцов. Таким образом, каждой альтернативе на множестве исходов, соответствует вероятностная мера, следовательно, в данном случае имеем задачу принятия решения в стохастических условиях.

3. ЛПР располагает только табл. 1.1 и не знает даже вероятностей появления состояний внешней среды, т. е. при выборе альтернативы Xi оно знает лишь о возможности наступления одного из исходов, стоящих в I-й строке таблицы. Получаемый исход определяется двумя факторами: выбором альтернативы, осуществляемым лицом, принимающим решение, и состоянием внешней среды. Принятие решения в этом случае осуществляется в условиях неопределенности.

Второй общий способ формализации задач принятия решений с конечными множествами альтернатив и исходов – это представление их в графовой форме.

Рис. 1.1. Графовая форма представления задачи принятия решения

(при одном состоянии внешней среды)

В этом случае множества альтернатив и исходов отображаются двумя множествами вершин графа, расположенных на разных уровнях (рис. 1.1). Стрелка (ребро графа) из вершины , соответствующей -й альтернативе, идет к вершине Ai только в том случае, если при выборе этой альтернативы возможно появление исхода Ai. При решении задачи принятия решения в условиях определенности из каждой вершины () графа выходит только одна стрелка и граф отображает функциональную зависимость между альтернативами и исходами. При этом не исключается случай, когда несколько альтернатив приводят к одному исходу, т. е. несколько ребер графа имеют конечной одну и ту же вершину Aj. При решении задачи в условиях неопределенности из каждой вершины графа выходит столько стрелок к вершинам , сколько возможно различных исходов при выборе этой альтернативы. Если известны не только возможные исходы, но и вероятности их появления, то для каждого ребра графа указывается и вероятность наступления исхода при выбранной альтернативе. Например, выбрана альтернатива , возможные исходы , вероятности их наступления, соответственно: , ().

Таким образом, любая задача принятия решений может быть приведена к одной из двух стандартных форм – графовой форме или форме в виде функции реализации. Повсеместное распространение в силу своего удобства получила только форма представления задач принятия решений в виде функции реализации.

< Предыдущая		Следующая >