02. Математические модели задач принятия решений. Структура задачи принятия решений
Существует большое число различных задач принятия решений (ЗПР). Однако, несмотря на разнообразие этих задач, все они имеют общую структуру, т. е. состоят из одних и тех же элементов.
Во-первых, у лица, принимающего решение (ЛПР), должна быть определена цель. Иногда цель может быть не сформулирована в явном виде, но в той или иной форме она должна обязательно присутствовать, иначе обсуждение правильности или ошибочности принимаемых решений лишается какого-либо смысла.
Во-вторых, должно быть множество возможных результатов (исходов), так как если возможен только один результат, то осуществлять выбор какого-либо решения не имеет смысла.
В-третьих, у ЛПР должны быть средства влияния на конечный результат, поскольку в противном случае необходимость принятия решения отпадает.
Эти три признака являются основными, поэтому можно предложить следующее достаточно общее определение задачи принятия решений.
Задача принятия решений – это такая задача 
, которая может быть сформулирована в терминах цели, средств и результата:
(1.1)
Где 
- множество цепей; 
- множество средств ЛПР; 
- множество возможных исходов; 
- множество состояний внешней среды, влияющих на появление тех или иных исходов; 
- функция отображающая множества C, Y соответственно средств ЛПР и состояний внешней среды в множестве А возможных исходов.
Цель в задачах принятия решений может быть формализована разными способами. Рассмотрим основные из них:
1. Максимизация или минимизация заданной функции 
. Эта функция, называемая целевой, определяется на множестве возможных исходов
И принимает действительные значения. Поскольку минимизация функции 
равносильна максимизации функции -
, то обычно рассматривают или максимизацию или минимизацию функции . В дальнейшем в большинстве случаев будут рассматриваться задачи максимизации целевой функции 
.
При решении ЗПР чаще говорят не о максимизации целевой функции, а о получении решения, оптимального в смысле заданного критерия 
, полагая, что 
. Цель в задачах принятия решений не всегда формулируется в виде одной целевой функции или критерия. Если цель одна (
), то критерий 
называют скалярным, если целей некоторое множество (
), то критерий называют векторным 
. Поскольку решение задач с векторным критерием существенно сложнее, чем со скалярным критерием, то часто стремятся свести векторный критерий к скалярному.
2. Качественная цель. Она характеризуется следующими свойствами:
- всякий возможный исход 
либо удовлетворяет цели, либо не удовлетворяет, цель или достигнута или нет, не может быть, что цель достигнута на 95%, либо 100%, либо 0%.
- все исходы, удовлетворяющие цели, как и исходы, ей не удовлетворяющие, неразличимы между собой;
- возможна формализация качественной цели в виде некоторого целевого подмножества 
множества 
всех возможных исходов (
), при этом любой исход 
удовлетворяет качественной цели, а любой исход 
этой цели не удовлетворяет.
- формально любую качественную цель можно свести к максимизации (или минимизации) некоторой вещественной целевой функции , например, можно задать, что 
, если , и 
, если 
.
3. Цель, заданная отношением предпочтения. В большинстве случаев при этом предполагается, что отношения предпочтения являются бинарными, и они удовлетворяют двум свойствам: линейности (для любой пары исходов (
) один из них предпочтительнее другого или они равнозначны) и транзитивности (если исход 
предпочтительнее исхода 
, а исход предпочтительнее 
, то исход предпочтительнее исхода 
). Если цель задана с помощью бинарных линейных транзитивных отношений, то она, как правило, может быть легко определена с помощью простых алгоритмов. К сожалению, такое задание цели с помощью отношений скорее исключение, чем правило, и в общем случае поиск целей, заданных с помощью отношений предпочтения представляет собой сложную проблему.
Рассмотрим вначале задачи принятия решений с максимизацией целевой функции (или критерия).
Множество средств С, находящихся у ЛПР, порождает множество 
альтернатив. Чем больше средств находится у ЛПР, тем, в общем случае, он имеет больше возможностей для принятия решений, т. е. тем больше множество 
возможных альтернатив.
С учетом множества 
альтернатив и критерия 
задачу принятия решений (1.1) можно сформулировать в следующем виде
.
Это одна из наиболее общих записей задачи принятия решений. Однако такая запись задач принятия решений применяется редко, поскольку более удобно иметь два соотношения: одно, описывающее критерий , а второе – взаимосвязь между возможными исходами, выбираемыми альтернативами и состояниями внешней среды:
. (1.2)
Рассмотрим конкретные задачи принятия решений, вытекающие из этой общей формулировки задачи принятия решений
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
