1.4. Збіжність

Введемо деякі поняття.

Відкритим шаром в метричному просторі з відстанню будемо називати множину всіх точок таких, що

.

Точка називається центром шару, число – його радіусом.

Замкненим шаром назвемо множину точок таких, що

.

Відкритий шар радіуса з центром в будемо називати також
-околом точки і позначати .

Множина називається Обмеженою, якщо вона міститься в де-якому шарі.

Точка називається Точкою дотику множини , якщо будь-який її окіл містить хоча б одну точку з . Сукупність усіх точок дотику множини називається Замиканням множини і позначається .

Теорема 1.1. Операція замикання має такі властивості:

1); 2) ;

3) якщо , то ; 4) .

Точка називається Граничною точкою множини , якщо будь-який її окіл містить нескінченну множину точок із .

Приклад 1.16. Нехай множина раціональних чисел відрізка . Тоді і будь-яка точка цього відрізка є граничною для .

Точка називається Ізольованою точкою цієї множини, якщо існує такий окіл , який не містить інших точок із крім точки .

Виявляється, що будь-яка точка дотику множини Є або граничною, або ізольованою точкою цієї множини.

Визначення 1.3. Послідовність , збігається до точки , якщо для будь-якого існує число таке, що для всіх вико-нується . Точка називається границею послідовності . Використовують такі позначення

, , .

Очевидно, що тоді й тільки тоді, коли

.

Теорема 1.2. Для того, щоб точка була точкою дотику множини , необхідно й достатньо, щоб існувала послідовність точок з , збіжних до точки .

Множина називається щільною в , якщо . Множина називається скрізь щільною в , якщо .

Простори, в яких є скрізь щільна зліченна множина, називаються Сепа-рабельними.

Приклад 1.17. У просторі скрізь щільною є зліченна множина раціональних чисел. У просторах , скрізь щільною є мно-жина векторів із раціональними координатами. У просторі скрізь щільною є множина многочленів з раціональними коефіцієнтами. У просторі скрізь щільною є множина послідовностей з такими раціональними членами, що для кожної послідовності число ненульових членів є скінченним. Всі ці простори сепарабельні. Простір не є сепарабельним.

Множина називається Замкненою, якщо .

Приклад 1.18. Будь-який відрізок є замкненою множиною. Замк-нений шар є замкненою множиною, зокрема у просторі замкненою є множина всіх функцій таких, що для всіх . Будь-яка множина, яка складається зі скінченного числа точок є замкненою.

Теорема 1.3. Перетин будь-якого числа і об’єднання скінченного числа замкнених множин є замкненою множиною.

Точка називається Внутрішньою точкою множини , якщо існує такий окіл , що . Множина, що складається з внутрішніх точок, називається Відкритою. Для будь-якої множини множина всіх її внутрішніх точок називається внутрішністю і позначається . Очевидно, що множина є відкритою тоді й тільки тоді, коли .

Приклад 1.19. Інтервал – відкрита множина. Відкритий шар – відкрита множина. Якщо – неперервні функції на , то множина всіх таких, що , , є відкри-тою в просторі .

Теорема 1.4. Множина є відкритою тоді й тільки тоді, коли її доповнення є замкненим.

Наслідок 1.1. Об’єднання будь-якого числа і перетин скінченного числа відкритих множин є відкритою множиною.

Весь простір і порожня множина Æ є відкритими і замкненими мно-жинами.

< Предыдущая		Следующая >