2.1.2. Дискретные случайные величины

Определение. Случайную величину x называют Дискретной, если множество ее возможных значений образует конечную или бесконечную последовательность чисел, т. е. конечно или счетно.

Пусть возможные значения дискретной случайной величины x упорядочены по возрастанию

X 1 ≤ X2 ≤¼≤ X N ≤¼. .

Рассмотрим события Ai, Содержащие все элементарные события w, приводящие к значению Xi:

A I={w: X = X I }, I=1, 2, ¼

Пусть Pi обозначает вероятность события Ai :

Pi = R (Ai)=R(w: x = xi ), i=1, 2, ¼ .

События Ai - несовместные События, которые составляют разбиение пространства элементарных событий Ω, т. е. Ω = Ai .

Тогда для вероятностей Pi выполняются свойства

P i ³ 0, i=1, 2, ¼ =1 . (2.2)

Закон распределения Дискретной случайной величины задается Рядом распределения.

Ряд распределения дискретной случайной величины x может быть представлен таблицей, в первой строке которой помещают возможные значения Xi , а во второй - вероятности Pi , соответствующие этим значениям.

X	X1	X2	…Xn…
PI	P1	P2	…Pn…

Кроме ряда распределения, дискретная случайная величина может быть задана с помощью Функции распределения.

Определение. Функция распределения F(X) случайной величины X это такая функция переменной X, которая равна вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее, чем заданное X,

F (X)=P(w:¦ (w) £ x) (2.3)

Для всех действительных чисел X.

Для дискретной случайной величины функция распределения определяется как сумма вероятностей для тех значений случайной величины, которые меньше заданного X. Обозначим через В(X) множество возможных значений случайной величины x, предшествующих числу X:

B(X) = {Xi: Xi £ X}. (2.4)

Тогда формулу (2.3) можно записать в виде

F (X) = . (2.5)

Приведем несколько примеров функций распределения дискретных случайных величин.

Пример 2.3. Правильный кубик подбрасывают один раз, и величина x обозначает число очков, выпавшее на его верхней грани. Построим функцию распределения этой случайной величины.

Решение. Обозначим через X возможные значения случайной величины x. В данном примере X={1,2,3,4,5,6}, и вероятность появления грани с любым количеством очков равна РI =.

Напишем ряд распределения этой дискретной случайной величины.

Х	1	2	3	4	5	6
Р

Построим функцию распределения по формуле (2.5). Для этого на числовой оси отметим точки из множества X. Они разбивают числовую ось OX На интервалы (-∞,1), [1,2) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6) [6,+ ∞) .

Последовательно будем вычислять функцию распределения на каждом из указанных выше интервалов. При любом множество B(X)={Xi : Xi £X} не содержит возможных значений случайной величины, т. е. является пустым множеством. Тогда по формуле (2.5)

F(X)=0.

При любом множество будет состоять из одного значения - 1:

В(X)={Xi : Xi £ X}={1}. Тогда по формуле (2.5)

F(X)=P1 =.

При любом Множество B(X)={Xi : Xi £ X}={1,2}. Тогда по формуле

F(X)=P1+ P2=.

При любом множество B(X)={Xi : Xi £ X}={1,2,3}. Тогда

F(X)=P1+ p2+ p3=.

При любом Множество B(X)={Xi : Xi £ X}={1,2,3,4}. Тогда

F(X)=P1+ p2+ p3+ p4=.

При любом множество B(X)={Xi : Xi £ X}={1,2,3,4,5} .Тогда

F(X)=P1+ p2+ p3+ p4+ p5=.

При любом множество B(X)={Xi : Xi £ X}={1,2,3,4,5,6} =X. Тогда

F(X)=P1+ p2+ p3+ p4+ p5+ p6=1.

Заметим, что при переходе от одного интервала к другому множество B(X) расширяется на одно значение и от пустого множества переходит к множеству всех возможных значений X={1,2,3,4,5,6}.

Все вычисления можно объединить в формулу

. (2.6)

Пример 2.4. Построим функцию распределения для появления числа гербов при трех подбрасываниях монеты (Пример 2.1).

Решение. Ряд распределения был найден в Примере 2.1.

ξ	0	1	2	3

Обозначим через X множество всех возможных значений этой случайной величины X = { 0, 1, 2, 3 }. Заметим, что множество B(X) при любом X Является подмножеством X. Числа из множества X Разбивают числовую ось на интервалы (-¥,0), [0,1), [1,2), [2,3), [3,+¥).

Пусть X любое число из интервала (-¥,0). Тогда множество B(X) не содержит значений случайной величины x, т. е. B(X) = Ø , следовательно, F(X)=0 при всех X из (-¥,0).

Возьмем любое XÎ[0,1). Множество B(X) содержит значение 0:

B(X) ={0} и F(X)= P0 =.