1.2.3. Вычисление вероятности события через элементы комбинаторного анализа

Использование методов комбинаторного анализа широко описано в учебном пособии по теории вероятностей. В данной работе рассмотрим Гипергеометрический способ Вычисления вероятности события.

Пример 1.10. В урне имеется N Шаров, из них M Белых и N-M черных. Наудачу из урны извлекают N Шаров. Найти вероятность того, что среди них будет ровно M белых шаров.

Решение. Обозначим искомое событие A: A= {выбрано ровно M белых шаров}. Из генеральной совокупности N шаров выбирают без учета порядка следования N шаров. Следовательно, число различных выборок будет равно числу сочетаний из N по N -- . Теперь найдем число выборок объема N, в которых ровно M белых шаров. Для этого будем выбирать из всех M белых шаров ровно M шаров. Всего число таких различных выборок объема M будет равно числу сочетаний из M По M - . Аналогично, число различных выборок из всех черных шаров по N-M шаров, будет равно числу сочетаний из N-M по (N – M), т. е. . Объединяя каждую выборку из M Белых шаров с каждой выборкой из (N – M) черных шаров, получаем искомое число выборок объема N, в которых будет ровно M Белых, - . Из классического определения вероятности следует, что

Р(A)= ,

Где Сrk - число сочетаний из R по K, вычисляемое по формуле

, k! = и 0! = 1.

Пример 1.11. Среди десяти изделий находится три бракованных. Выбирают наугад четыре изделия. Определить вероятности следующих событий:

A = {среди выбранных изделий нет бракованных };

B = {из выбранных изделий ровно два бракованных}.

Решение. Определим общее число способов выбора четырех деталей из десяти.

.

Число выборок, благоприятствующих событию A, будет равно

.

Тогда вероятность события A будет равна

P(A)= .

Для вычисления вероятности события В применим гипергеометрическое определение. Будем считать изделия шарами, бракованные изделия - белыми шарами, а небракованные изделия - черными шарами. Тогда найти вероятность события B означает найти вероятность того, что среди 4 наугад выбранных шаров будет два белых:

P(B)= = .

< Предыдущая		Следующая >