22. Некоторые кривые и поверхности, встречающиеся в механике

Кардиоида – линия, описываемая точкой М окружности радиуса А, катящейся по окружности с таким же радиусом.

Параметрические уравнения:

Уравнение в полярных координатах:

Спираль Архимеда – траектория точки М, равномерно движущейся по прямой, которая равномерно вращается вокруг фиксированной точки.

Уравнение в полярных координатах:

Логарифмическая спираль.

Уравнение в полярных координатах:

Логарифмическая спираль пересекает полярные радиусы всех своих точек пол одним и тем же углом. На этом свойстве основано ее применение в технике. Так в различных режущих инструментах и машинах вращающиеся ножи имеют профиль, очерченный по дуге логарифмической спирали. В силу этого, угол резания остается постоянным. Логарифмическая спираль применяется в теории механизмов при проектировании зубчатых колес с переменным передаточным числом (т. е. отношением их угловых скоростей)

Цепная линия – кривая, форму которой принимает гибкая тяжелая нерастяжимая нить под действием силы тяжести, подвешенная в двух точках.

Уравнение в декартовых координатах:

Циклоида- траектория фиксированной точки окружности, которая без скольжения катится по прямой

Параметрические уравнения:

Эпициклоида – траектория фиксированной точки окружности радиуса R, катящейся без скольжения по другой неподвижной окружности радиуса R вне ее. (предполагаем, что R>r)

Параметрические уравнения:

Гипоциклоида – траектория фиксированной точки окружности радиуса R, катящейся без скольжения по другой неподвижной окружности радиуса R внутри ее. (предполагаем, что R>R)

Параметрические уравнения:

В частности, при R=4R, эпициклоида называется Астроидой:

Параметрические уравнения:

Винтовая линия – линия, описываемая точкой, движущейся со скоростью V По образующей кругового цилиндра радиуса R, который при этом вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью .

Параметрические уравнения:

Коническая линия – линия, описываемая точкой, движущейся со скоростью V По образующей кругового конуса, который при этом вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью .

Параметрические уравнения:

Тор – поверхность, полученная вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости данной окружности и не пересекающей ее.

Параметрические уравнения:

Катеноид – поверхность, полученная вращением цепной линии вокруг ее оси.

Пусть цепная линия

Вращается вокруг оси Oz.

Параметрические уравнения катеноида:

Катеноид является единственной минимальной поверхностью среди поверхностей вращения. Он обладает следующим свойством. Рассмотрим две окружности, полученные пересечением катеноида плоскостями . Любая поверхность, края которой совпадают с этими окружностями имеет площадь большую, чем часть катеноида, расположенная между указанными окружностями. Так, например, мыльная пленка, соединяющая данные окружности, под действием сил внутреннего натяжения принимает форму катеноида.

Геликоид – поверхность, описанная прямой, которая вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси, пересекает ось под постоянным углом и одновременно перемещается поступательно с постоянной скоростью вдоль этой оси.

При геликоид называют Прямым, в противном случае геликоид называют Косым.

Параметрические уравнения прямого геликоида:

Наглядное представление о положении отдельных прямых (лучей) при дают ступени винтовой лестницы.

Представление о геликоиде можно также составить, например, наблюдая движение винта вертолета при его вертикальном взлете. Разнообразные геликоиды широко применяются на практике. Это объясняется Следующим: геликоид образован сложением двух самых распространенных видов равномерного движения – прямолинейного и вращательного. Вследствие этого геликоид можно применить там, где необходимо перейти от одного из указанных видов движения к другому, что имеет место практически в любой машине.

< Предыдущая		Следующая >