13. Свойства отношений

Свойства отношений:

1. Рефлексивность: если AAa φ A;

2. Антирефлексивность: если AAa’ φ A;

3. Симметричность: если A,BAa φ B→B φ A;

4. Антисимметричность: если A,BAa φ B&Bva→A=B;

5. Транзитивность: если A,B,CAa φ B&B φ C→A φ C;

6. Полнота, или линейность: если A,BAa≠Ba φ B или B φ A.

Отношение φ=<Ф, М> называется Пустым, если график Ф является пустым множеством. Т. е. φ=<Ø,М>. Другими словами имеется область задания отношения, на котором не задан график отношения.

Отношение φ=<Ф, М> называется Отношением равенства, если Ф=ΔМ. В теоретико-множественном плане можно записать, (A, bМ)(aφb→a=b). Например задано φ=<Ф, М>, М={1,2,3}, Ф={<1,1>,<2,2>,<3,3>}. Данное отношение является отношением Равенства.

Отношение φ=<Ф, М> называется Отношением неравенства, если Ф=М2\ΔМ, т. е. (A, bМ) (aφb→a≠b). Например задано φ=<Ф, М>, М={1,2,3}, Ф={<1,2>,<2,3>,<3,1>}. Данное отношение является отношением Неравенства. Отношения «5 > 3» и «3 < 10»также являются примерами отношения неравенства.

Отношение называется отношением Частичного порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение называется отношением Линейного порядка, если оно является отношением частичного порядка и линейно.

Отношение называется отношением Строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение называется отношением Строгого линейного порядка, если оно — линейное отношение строгого порядка.

Отношение называется отношением Эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Классом эквивалентности, порождённым элементом х, называется множество всех элементов из A, вступающих с х в отношение эквивалентности.

Фактор-множеством множества А по отношению эквивалентности φ называется множество всех различных классов эквивалентности, которое обозначается A/φ.

Мощность Фактор-множества A/φ называется индексом разбиения, порождённого отношением φ.

< Предыдущая		Следующая >