14. Операции над отношениями

На отношения переносятся основные операции над множествами, но они могут выполняться только на одной и той же области задания.

Объединением отношений φ1 и φ2 на множестве М называется отношение φ3:

φ1φ2 = φ3, φ1 = <Ф1, M>, φ2 = <Ф2, M>.

φ3 = <Ф1Ф2, M>,

<a, b>Ф1Ф2<a, b>Ф1<a, b>Ф2 & a, bM.

Например, пусть имеем два отношения: φ1 = <Ф1, M>, φ2 = <Ф2, M>, M = {2, 3, 4}, Ф1 = {<2,1>, <2,2>, <2,4>}, Ф2 = {<2,1>, <2,3>, <4,4>}

Тогда объединение этих отношений φ3 = <Ф3, M>, Ф3 = Ф1Ф2 = {<2,1>, <2,2>, <2,4>, <2,3>, <4,4> }.

Отметим, что для операции объединения над отношениями справедлива следующая запись:

X(φ1φ2)YX φ1 YX φ2Y

Пересечением отношений φ1 и φ2 на множестве М называется отношение φ3:

φ1φ2 = φ3, φ1 = <Ф1, M>, φ2 = <Ф2, M>.

φ3 = <Ф1Ф2, M>,

<a, b>Ф1Ф2<a, b>Ф1&<a, b>Ф2 & a, bM.

Например, пусть имеем два отношения: φ1 = <Ф1, M>, φ2 = <Ф2, M>, M = {1, 2}, φ1= <{<1,1>, <1,2>}, {1, 2}>, φ2 = <{<1,2>,<2,2>}, {1, 2}>

Тогда пересечение этих отношений φ3 = <Ф3, M> = <{<1,2>},{1, 2}>.

Отметим, что для операции пересечения над отношениями справедлива следующая запись:

X(φ1φ2)YX φ1 Y&X φ2Y

Операции объединения и пересечения также, как и для множеств применимы для любого числа отношений.

Отношение φ3 называется Разностью Отношений φ1 и φ2, если

φ1 = <Ф1, M>, φ2 = <Ф2, M>.

φ3 = φ1\ φ2 = <Ф1\Ф2, M>,

<a, b>Ф1\Ф2<a, b>Ф1&<a, b>Ф2 & a, bM.

Например, пусть имеем два отношения: φ1 = <Ф1, M>, φ2 = <Ф2, M>, M = {1, 2, 3}, Ф1= {<2,2>, <1,2>, <3,3>}, Ф2 = {<1,1>,<2,2>, <3,3>}

Тогда разность этих отношений φ3 = <Ф3, M> = <{<1,2>},{1, 2, 3}>.

Отметим, что для операции разности над отношениями справедлива следующая запись:

X(φ1\φ2)YX φ1 Y&X φ2’ Y

Над отношениями выполняются также операции Инверсии и Композиции.

Если φ = <Ф, М>, то Инверсияφ-1 = < Ф-1, М >.

Для того, чтобы найти Инверсию Отношения, необходимо проинвертировать элементы его графика на множестве М. Отметим, что для операции инверсии над отношениями справедлива следующая запись

Х φ-1у Уφ х.

Например, для отношения φ=<Ф, М>, М={1,2,3}, Ф={<1, 1>, <1, 2>,<1,3>}, инверсия φ-1= < Φ-1,М> и Φ-1= {<1, 1>,<2, 1>, <3, 1>).

Композицией двух отношении является новое отношение, у которого компонируют графики отношений.

φ1 = <Ф1, M>, φ2 = <Ф2, M>.

φ1φ2 = <Ф1Ф2, M>

Например, пусть имеем два отношения: φ1 = <Ф1, M>, φ2 = <Ф2, M>, M = {1, 2, 3}, Ф1= {<1, 1>, <1,2>, <1, 3>,<3,3>}, Ф2 = {<1,1>,<2,3>, <3,1>,<3,2>}

Тогда композиция графиков этих отношений равна Ф3 = Ф1Ф2 = {<1,1>, <1, 3>,<1,2>, <3,2>, <3,1>}.

Отметим, что все операции над отношениями могут выполняться только на одной и той же области задания, и в результате выполнения операций снова получается отношение с той же самой областью задания

Введем операцию, меняющую область задания отношений.

Пусть φ =<Ф, М>, иАМ, тогда Сужением отношения φ на множестве А называется новое отношение

φ1 = <ФA2, A>

Например, φ =<Ф, М>, М={ 1,2,3}, Ф = {<1, 1>,<1, 2>, <1, 3>}, A = {1,2}. Тогда φ1 = <{<1,1>,<1,2>},{1,2}>.

< Предыдущая		Следующая >