25. Задача максимизации нечеткой целевой функции на заданном нечетком множестве допустимых альтернатив

Пусть – универсальное множество альтернатив и заданы функция , , а также соответствующее этой функции нечеткое отображение , где – числовая ось. При этом функция играет роль целевой и для каждого фиксированного задает подмножество, представляющее нечеткое описание результата выбора альтернативы , то есть – функция принадлежности нечеткого множества возможных значений для . Пусть, кроме того, задано нечеткое множество допустимых альтернатив с функцией принадлежности .

Таким образом, поскольку разным альтернативам соответствуют разные значения функции принадлежности, то в этой задаче максимизации нечетко заданной целевой функции выбираемые альтернативы нужно сравнивать между собой по соответствующим им нечетким значениям функции цели. В связи с этим возникает нетривиальная проблема построения отношения предпочтения одних нечетких множеств перед другими. Эта проблема решается следующим образом.

Пусть на декартовом произведении универсальных множеств и задано нечеткое отношение предпочтения с функцией принадлежности . Эта функция задает степень уверенности в том, что элемент предпочтительнее элемента . С другой стороны, это нечеткое отношение предпочтения можно рассматривать как нечеткое отображение элементов в элементы , которые связаны с отношением , то есть . Выберем произвольный элемент . Образ в есть нечеткое подмножество множества с функцией принадлежности , определяющей нечеткое подмножество тех элементов из , которые связаны с отношением , то есть .

Пусть теперь – нечеткое подмножество . Тогда нечеткий образ нечеткого подмножества при отношении описывается функцией принадлежности

, (5.45)

То есть функция определяет степень предпочте-

Ния нечеткого подмножества перед .

При этом в соответствии с (5.45) для фиксированного подмножества функция описывает нечеткое множество элементов , связанных с отношением , то есть таких, что для , имеет место . Таким образом, функция устанавливает степень, с которой нечеткое множество предпочтительнее элемента .

Также несложно получить формулу для оценки степени предпочтения конкретного элемента перед нечетким множеством. Пусть – нечеткое подмножество множества , – элемент множества , – нечеткое отношение предпочтения с функцией принадлежности . При этом, поскольку можно рассматривать как отображение элементов в элементы , то – есть обратное отображение элементов в элементы . Тогда для фиксированного функция принадлежности

(5.46)

Определяет степень предпочтения перед .

Пример 5.9. Пусть – числовая ось и – четкое отношение предпочтения больших чисел перед меньшими, то есть

Тогда для любого

И соотношение (5.45) упрощается к виду

. (5.47)

Зададим нечеткое множество функцией принадлежности

(5.48), отображенной на рис. 5.14.

(5.48)

Рис. 5.14. Функция принадлежности

Пусть. Тогда в соответствии с (5.47)

То есть степень предпочтения нечеткого множества , описываемого (5.48), перед равна .

Пусть теперь . Тогда

То есть степень, с которой предпочтительнее, чем , равна .

Определим теперь степень предпочтения конкретных элементов и перед нечетким множеством .

Так как

И при этом

То соотношение (5.46) упростится к виду

Тогда для нечеткого множества , заданного (5.48), и имеем

Таким образом, степень предпочтения элемента перед нечетким множеством равна 0.25.

Вычислим теперь степень предпочтения элемента перед нечетким множеством . Имеем

Понятно, что численное значение степени предпочтения заданного нечеткого множества перед заданным числом зависит от того, как определено нечеткое отношение предпочтения .

Пример 5.10. Пусть Х – числовая ось и R – нечеткое отношение предпочтения больших чисел перед меньшими, задаваемое функцией принадлежности

(5.49)

Пусть нечеткое множество задано соотношением (5.48). Положим При этом из (5.49) следует:

Тогда в соответствии с (5.45) имеем

На рис. 5.15 приведены графики функций принадлежности

Из рис. 5.15 следует, что функции соответствуют отрезки прямых, отображенные на этом рисунке жирно, а значение , определяющее , отыскивается как точка пересечения функций принадлежности и .

Рис. 5.15. Функции принадлежности

Решим соответствующее уравнение. Имеем

Откуда

При этом

И в соответствии с (5.45)

Таким образом, если отношение предпочтения задано (5.49), то степень предпочтения нечеткого множества перед 0.5 равна 0.5.

Пусть теперь . При этом

Тогда

На рис. 5.16 приведены графики функций принадлежности , .

Рис. 5.16. Функции принадлежности ,

Действуя аналогично предыдущему, имеем

Откуда

, .

При этом

Полученное значение 0.214 оценивает степень предпочтительности подмножества перед 2.5.

Введем нечеткие множества , , и , , с функциями принадлежности и соответственно, а также нечеткое отношение предпочтения перед . При этом для фиксированного в соответствии с (5.46) степень предпочтения перед рассчитывается по формуле

Тогда степень предпочтения множества перед множеством определяется соотношением

(5.50)

Аналогично этому легко получить оценку степени предпочтения перед :

(5.51)

Пример 5.11. Пусть – числовая ось и – четкое отношение пердпочтения больших чисел перед меньшими, то есть

В этом случае для любых и соотношения (5.50) и (5.51) упростятся к виду

(5.52)

(5.53)

Зададим нечеткие множества и функции принадлежности
(5.54)

(5.54)

Которые отображены на рис. 5.17.

Рис. 5.17. Функции принадлежности ,

Тогда, в соответствии с (5.52), степень предпочтения перед определяется точкой на рис. 5.17, координата которой отыскивается из уравнения

Откуда

, , .

При этом степень предпочтения перед равна

С другой стороны, в соответствии с (5.53), степень предпочтения перед равна , поскольку в области возможных значений пар , таких, что , имеются и , для которых и, следовательно, .

Вернемся теперь к задаче максимизации нечеткой целевой функции на множестве альтернатив.

Пусть множество X допустимых альтернатив описано четко. Качество выбранной альтернативы оценивается нечеткими значениями нечеткой функции . Таким образом, любой альтернативе функция ставит в соответствие нечеткую оценку этой альтернативы в форме нечеткого подмножества множества оценок Y. Пусть – степень предпочтения (соотношения (5.50), (5.51)), индуцированное некоторым нечетким отношением предпочтения . Как было показано, это отношение позволяет сравнить между собой по предпочтению нечеткие оценки альтернатив, а следовательно, и сами альтернативы. Другими словами, степень предпочтения альтернативы перед альтернативой определяется степенью предпочтения нечеткой оценки перед нечеткой оценкой , то есть

Для краткости обозначим через , нечеткое подмножество значений функции при выборе альтернативы и через , нечеткое подмножество значений функции при выборе альтернативы . Тогда .

При этом в соответствии с (5.50), имеем

. (5.56)

Здесь, как уже сказано, нечеткие функции , имеют смысл функций принадлежности нечетких множеств, индуцируемых функцией для аргументов и .

Заметим, что если бы некоторая целевая функция была описана четко, то есть

И функция предпочтения также была четкой, то есть

То (5.56) приняло бы понятный и естественный вид

Полученное соотношение (5.56) сводит задачу выбора наилучшей альтернативы к следующей. На универсальном множестве альтернатив X задано нечеткое отношение предпочтения . Теперь, с использованием методики, изложенной в п.3.6, выделим в множестве X нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив. В соответствии с (3.39) запишем выражение для расчета степени, с которой альтернатива не доминируется ни одной из альтернатив множества X:

. (5.57)

Отсюда, с учетом (5.56), получим

. (5.58)

В простом частном случае, когда множество альтернатив задано на числовой оси с естественным предпочтением больших чисел перед меньшими, соотношение (5.56) упрощается к виду

. (5.59)

Аналогично этому

. (5.60)

Понятно, что описанная методика максимизации нечеткой целевой функции на заданном нечетком множестве допустимых альтернатив может быть реализована, только если множество альтернатив конечно и содержит не слишком много элементов.

Пример 5.12. Фирма выпускает продукцию двух видов. Прибыль от реализации единицы продукции первого вида равна единиц, а от реализации продукции второго вида – единиц. С другой стороны, затраты на изготовление единицы продукции первого и второго видов равны соответственно и единиц. Найти рациональную структуру производства, если суммарные затраты не должны превышать единиц.

Введем – количество единиц продукции -го вида, планируемое для производства, .

Тогда сформулированная задача сводится к следующей: найти план , максимизирующий суммарную прибыль

(5.61)

И удовлетворяющий ограничениям

, (5.62)

,. (5.63)

Решение этой задачи элементарно и достигается следующим образом. Введем новые переменные Тогда соотношения (5.61)–(5.63) примут вид

(5.64)

(5.65)

(5.66)

Оптимальное решение задачи очевидно:

(5.67)

Где

(5.68)

При этом

Таким образом, рациональное решение состоит в том, чтобы выпускать тот вид продукции, для которого максимально отношение , в количестве единиц.

Задача усложняется, если какие-то параметры задачи являются нечеткими числами. Пусть, например, по условию задачи прибыль от реализации единицы продукции -го вида есть нечеткое число, «Приблизительно равное », с функцией принадлежности

(5.69)

Из (5.65) следует, что структура производства однозначно задается значением одного любого элемента из пары . В связи с этим введем переменную и запишем нечеткое значение прибыли с использованием этой переменной:

. (5.70)

Теперь, с использованием (4.3) и (4.24), (4.25), получим функцию принадлежности нечеткого числа . Имеем

, (5.71)

, (5.72)

. (5.73)

Дальнейшая последовательность действий такова:

А) ведем конечное множество альтернатив решения задачи;

Б) с учетом (5.71)–(5.73) рассчитаем степени предпочтения каждой из альтернатив перед другими;

В) полученную матрицу нечетких отношений предпочтения используем для отыскания недоминируемых альтернатив.

Решим задачу для следующих исходных данных: , , , , , , .

Для простоты введем универсальное множество альтернатив, содержащее всего три элемента: , то есть все средства используются для производства продукции второго вида в количестве единиц; , то есть средства распределяются между продукцией первого вида, производимого в количестве , и продукцией второго вида, производимого в количестве единиц; , то есть все средства используются для производства продукции первого вида в количестве единиц.

Теперь, с использованием (5.71)–(5.73), получим функции принадлежности нечетких значений прибыли, соответствующих перечисленным альтернативам:

, , ;

, , .

С учетом конкретных значений параметров задачи имеем:

, ;

, .

Тогда

, ,

Перейдем к оценке степени предпочтения альтернатив. Поскольку оценки альтернатив заданы на числовой оси с естественным предпочтением больших чисел перед меньшими (большей прибыли перед меньшей), используем соотношение (5.59).

Найдем оценку степени предпочтения нечеткого множества с функцией принадлежности перед нечетким множеством с функцией принадлежности , а также оценку степени обратного предпочтения.

Рис. 5.18. Функции принадлежности и

Из графиков функций и , приведенных на рис. 5.18, ясно, что степень предпочтения первой альтернативы перед второй определяется точкой , координата которой отыскивается из уравнения

. (5.74)

Из (5.74) имеем

Меньший корень полученного уравнения равен . При этом степень предпочтения первой альтернативы перед второй равна

С другой стороны, в соответствии с (5.60), степень предпочтения альтернативы перед равна .

Аналогично этому найдем оценки предпочтения альтернативы перед и, наоборот, альтернативы перед . Графики функций принадлежности и приведены на рис. 5.19.

Уравнение для отыскания координаты точки, определяющей искомую степень предпочтения перед , имеет вид .

Рис. 5.19. Функции принадлежности и

Отсюда , .

С другой стороны .

Приведем, наконец, без пояснений результаты расчета оценок предпочтения альтернативы перед и альтернативы перед . Имеем

, .

Введем теперь матрицу оценок функций принадлежности для нечетких отношений предпочтения на множестве .

Имеем

Завершая решение задачи в соответствии с методикой, изложенной в подразделе 3.6, определим степень недоминируемости каждой из альтернатив путем вычитания из единицы максимального значения в каждом из столбцов матрицы . Получим

Наибольшую степень недоминируемости, равную , имеет альтернатива.

< Предыдущая		Следующая >