26. Задача математического программирования, в которой параметры целевой функции и ограничений заданы нечетко

Пусть задано универсальное множество альтернатив и подмножество допустимых альтернатив, описываемое ограничениями-неравенствами вида

, . (5.75)

Здесь – заданные функции ; , , – числовые параметры, значения которых описаны нечетко в форме подмножеств числовой оси своими функциями принадлежности , , .

Эффективность каждой из возможных альтернатив оценивается значением функции цели

, (5.76)

В которой , – числовые параметры, значения которых также описаны нечетко своими функциями принадлежности , . Поскольку значения целевой функции заданы на числовой оси, степень предпочтения одних альтернатив перед другими оценивается естественным предпочтением больших чисел перед меньшими.

Введем набор , , конкретных значений параметров ограничений (5.75), степени принадлежности которых определяются соответствующим набором , ,. Пусть – минимальное из этих чисел, то есть

. (5.77)

Если при этом некоторая конкретная альтернатива удовлетворяет неравенствам

, ,

То естественно считать, что эта альтернатива принадлежит множеству допустимых альтернатив со степенью, не меньшей . Понятно, что полученная степень допустимости альтернативы может быть повышена, если найдется другой набор , удовлетворяющий ограничениям , , , , для которого значение

Окажется большим, чем . Отсюда следует, что истинная степень допустимости любой альтернативы может быть получена из соотношения

, (5.78)

Где – множество наборов , таких, что , , , .

Соотношение (5.78) задает функцию принадлежности множества допустимых альтернатив.

Пример 5.13. Пусть в задаче математического программирования подмножество допустимых альтернатив определяется неравенствами

, (5.79)

, (5.80)

Причем и – нечеткие параметры с функциями принадлежности

(5.81)

(5.82)

Графики которых приведены на рис. 5.20.

Рис. 5.20. Графики функций принадлежности ,

Найдем функцию принадлежности допустимых значений .

Сначала определим интервал значений , соответствующий носителю нечеткого числа, задающего степень допустимости альтернативы .

Левая граница этого интервала равна нулю, так как при минимальном возможном значении неравенства (5.79), (5.80) удовлетворяются при любых возможных значениях нечетких чисел и . При этом степень допустимости альтернативы равна 1. Действительно, при этой альтернативе неравенство (5.79) удовлетворяется, в частности, для и . Поэтому

Далее, степень допустимости альтернатив остается равной 1 для всех тех , для которых неравенство (5.79) выполняется при условии, что нечеткие числа и принимают значения, равные модальным. Отсюда граничное значение , при котором отыскивается из уравнения

, .

Таким образом,

, . (5.83)

С другой стороны, понятно, что правая граница искомого интервала – носителя – определяется максимальным значением , при котором выполняется неравенство

Где

, ,

, .

Отсюда

, . (5.84)

Определим теперь закон изменения функции принадлежности нечеткого числа, задающего степень допустимости альтернативы в интервале . В этом интервале

Пусть, например, . Тогда неравенство (5.79) принимает вид

Необходимо отыскать такую пару значений и , чтобы выполнялось приведенное выше неравенство и одновременно значение было максимально возможным. Эту пару можно отыскать, если построить функцию принадлежности нечеткого числа и отобразить ее на одном рисунке с . В соответствии с (4.3), с учетом (5.81),

Рис. 5.21. Графики функций принадлежности ,

На рис. 5.21 функция отображена жирно, а значение степени допустимости выбранной альтернативы

Определяется точкой А пересечения и . При этом имеем

Отсюда , .

Это рассуждение можно повторить для произвольного значения из интервала . При этом если , то соответствующая функция принадлежности примет вид

Тогда точка пересечения и определяется из уравнения

Отсюда .

При этом

. (5.85)

Полученное соотношение позволяет рассчитать степень допустимости альтернативы в интервале . Объединяя (5.83)–(5.85), построим на рис. 5.22 график соответствующей функции принадлежности.

Таким образом, искомая функция принадлежности нечеткого значения допустимости альтернативы построена.

Рис. 5.22. График функции

Вернемся к нечеткой целевой функции (5.76). Пусть , – конкретные числовые значения нечетких параметров функции (5.76), степени принадлежности которых соответствующим нечетким множествам определяются набором , . Определим теперь – минимальное из этих чисел, то есть

Пусть, наконец, – некоторая конкретная альтернатива и при этом число

Есть соответствующее выбранной альтернативе и значениям параметров , , значение функции цели (5.76). По аналогии с предыдущим естественно считать, что это значение принадлежит нечеткой (вследствие нечеткости параметров , ) оценке альтернативы со степенью, не меньшей . Понятно, что степень принадлежности значения функции нечеткому множеству значений функции (5.76), соответствующих альтернативе и равных , может быть повышена, если найдется другой набор , для которого

И одновременно

Пример 5.14. Пусть целевая функция имеет вид

Причем параметры и – нечеткие числа с функциями принадлежности, соответственно равными

(5.86)

(5.87)

Зададим конкретный набор значений параметров целевой функции: , . Степени принадлежности выбранных значений параметров соответствующим нечетким множествам равны: , , а значение равно . Выберем альтернативу и вычислим

При этом значение принадлежит нечеткой оценке альтернативы со степенью не ниже . Попытаемся найти другой набор , для которого

И одновременно

С этой целью решим следующую четкую задачу математического программирования: найти набор , максимизирующий

(5.88)

И удовлетворяющий ограничению

. (5.89)

Из (5.89) выразим через :

. (5.90)

Подставим полученное выражение для в (5.87). При этом

Отсюда, после элементарных упрощений,

(5.91)

Теперь для отыскания набора, максимизирующего (5.88), отобразим функции принадлежности (5.86) и (5.91) на рис. 5.23.

Рис. 5.23. Функции принадлежности ,

Из рисунка ясно, что для всех имеет место , при-

Чем равенство достигается в точке , в которой .

При этом, в соответствии с (5.89), .

Таким образом, найдена пара , которой соответствует максимально возможное, равное единице, значение степени принадлежности нечеткого значения функции для выбранной альтернативы .

Проведенные в примере 5.14 рассуждения можно повторить при отыскании степени принадлежности нечеткого значения функции цели, являющегося нечеткой оценкой произвольной допустимой альтернативы . Для выбранной пары , введем множество всех наборов , таких, что . Тогда степень принадлежности нечеткого значения , являющегося нечеткой оценкой альтернативы , имеет вид

, (5.92)

Где

, , (5.93)

. (5.94)

Понятно, что описанная технология решения нечеткой задачи математического программирования реально может быть использована только в тех случаях, когда множество альтернатив конечно и содержит не слишком много элементов.

Пример 5.15. Сформулируем нечеткую задачу линейного программирования: найти набор , максимизирующий линейную целевую функцию

(5.95)

И удовлетворяющий ограничениям

, (5.96)

, (5.97)

, , (5.98)

Причем параметры целевой функции и – нечеткие числа с функциями принадлежности, соответственно равными

(5.99)

(5.100)

Ограничения (5.96)–(5.98) высекают на плоскости выпуклый многоугольник, определяющий допустимые решения задачи. Граница области допустимых решений на рис. 5.24 выделена жирно.

На этом же рисунке помечены крайние точки многогранника , определяющие решения – опорные планы задачи. Пусть точке соответствует первая допустимая альтернатива решения – , точке – вторая альтернатива , точке – третья альтернатива .

Рис. 5.24. Область допустимых решений

Из рис. 5.24 следует, что , . Координаты точки найдем, решив систему уравнений

Отсюда , .

Зададим некоторый конкретный допустимый набор значений параметров целевой функции , . Степени принадлежности выбранных значений параметров соответствующим нечетким множествам равны: , .

Выберем альтернативу и вычислим

Прямая касается многоугольника ограничений в его крайней точке . Поэтому альтернатива может рассматриваться как решение задачи линейного программирования с целевой функцией и ограничениями (5.96)–(5.98).

При этом значение принадлежит нечеткой оценке альтернативы со степенью, равной

С целью отыскания другого возможного набора , для которого

(5.101)

И одновременно , решим следующую четкую задачу математического программирования: найти набор , максимизирующий

(5.102)

И удовлетворяющий ограничению .

В данном случае, поскольку , параметр фиксирован, и поэтому значение критерия (5.102) не может быть улучшено.

Эти же рассуждения повторим для альтернативы . Вновь выберем , и вычислим

Прямая , проходя через крайнюю точку многогранника ограничений, пересечет его. Поэтому альтернатива не является решением задачи линейного программирования с целевой функцией и ограничениями (5.96)–(5.98).

В связи с этим выберем другую пару параметров целевой функции, например, , . Степень принадлежности этих параметров задачи соответствующим нечетким множествам равна: ; . При этом для альтернативы имеем .

Прямая касается многогранника ограничений в крайней точке . Поэтому альтернатива может рассматриваться как решение задачи линейного программирования с целевой функцией и ограничениями (5.96)–(5.98). Значение принадлежит нечеткой оценке альтернативы со степенью, равной

При этом, так как , параметр фиксирован и значение степени принадлежности альтернативы не может быть улучшено.

Рассмотрим, наконец, альтернативу . Зададим набор значений параметров целевой функции , со степенями принадлежности, соответствующими нечетким множествам,

Равными , . Вычислим

При этом значение принадлежит нечеткой оценке альтернативы со степенью, равной

Для отыскания другого набора , для которого

И одновременно

Решим следующую задачу математического программирования: найти набор , максимизирующий

(5.103)

И удовлетворяющий ограничению

Из этого соотношения имеем .

Подставим полученное выражение для в (5.99).

При этом

Отсюда, после упрощения, имеем:

(5.104)

Теперь для отыскания набора, максимизирующего (5.103), отобразим функции принадлежности (5.100) и (5.104) на рис. 5.25.

Рис. 5.25. Функции принадлежности ,

Из рис. 5.25 ясно, что максимальное значение функции (5.103) достигается в точке , координаты которой найдем из уравнения

Отсюда и . При этом значение принадлежит нечеткой оценке альтернативы со степенью

Таким образом, в результате решения задачи для допустимых альтернатив , , получены соответствующие значения целевой функции , , , которые принадлежат нечетким оценкам перечисленных альтернатив со степенями, равными ; ; .

Следует отметить, что описанная технология решения задачи математического программирования с нечетко заданными параметрами целевой функции и результат ее применения не вполне соответствуют интуитивно ясному представлению о том, что в действительности ожидалось получить, а именно – альтернативу, обеспечивающую наибольшее значение целевой функции с возможно большим значением степени принадлежности к нечеткому множеству, описывающему максимально возможные значения целевой функции на множестве допустимых альтернатив. Сказанное является естественным следствием конструктивных особенностей методики: произвольный выбор начального набора значений нечетких параметров целевой функции и допустимой альтернативы навязывают в такой же мере произвольное значение этой целевой функции и степень его принадлежности максимально возможному значению. Дальнейшая процедура не ориентирована на улучшение начальной альтернативы, поскольку направлена лишь на повышение степени ее принадлежности искомому решению.

В связи с этим рассмотрим другой подход к решению поставленной задачи.

Выберем некоторое число из интервала такое, что для всех функций принадлежности нечетких параметров целевой функции выполняется неравенство . Понятно [7], что в этом случае функция (5.92) обладает следующим свойством: для любого .

Это означает, что если все нечеткие множества, описывающие нечеткие параметры целевой функции, имеют высоту, не меньшую , то для нахождения альтернатив, степень недоминируемости которых не меньше , достаточно решить следующую четкую задачу математического программирования: максимизировать функцию цели

При ограничениях

, ,

, .

Следует заметить, что этот подход к решению может быть использован, если сама задача достаточно проста. Применение описанной технологии для решения общей задачи математического программирования с нечеткими параметрами сопряжено с серьезными трудностями.

Пример 5.16. Найти набор , максимизирующий линейную целевую функцию (5.95) и удовлетворяющий ограничениям (5.96)–(5.98), причем параметры целевой функции и – нечеткие числа с функциями принадлежности:

, .

Зададим . Тогда диапазоны значений и , для которых , отыскиваются из уравнений

, .

Отсюда

, (5.105)

. (5.106)

Таким образом, получена следующая четкая задача математического программирования: максимизировать (5.95) при ограничениях (5.96)–(5.98), (5.105), (5.106).

Ограничения (5.96)–(5.98) задают многоугольник, определяющий допустимые наборы (рис. 5.24). С другой стороны, ограничения (5.105), (5.106) определяют область значений нечетких параметров целевой функции , имеющих степень принадлежности не ниже заданной (рис. 5.26).

Рис. 5.26. Область значений параметров , , имеющих степень принадлежности не ниже чем

В полученной задаче целевая функция оказывается квадратической, а ограничения – линейные неравенства. Специфическая конструкция целевой функции позволяет свести задачу (5.95)–(5.98), (5.105), (5.106) к последовательности задач линейного программирования. С этой целью используем метод блочной релаксации [9, 15, 23].

Выберем из допустимой области значений , ограниченной неравенствами (5.105), (5.106), произвольный начальный набор, например, , . Тогда задача сведется к следующей: найти набор , максимизирующий

(5.107)

И удовлетворяющий ограничениям (5.96)–(5.98).

Легко видеть (рис. 5.24), что максимальное значение (5.107) на множестве наборов , удовлетворяющих (5.96)–(5.98), достигается в точке и равно:

Зафиксируем набор и поставим задачу отыскания , максимизирующего

(5.108)

И удовлетворяющего ограничениям (5.105), (5.106).

Максимальное значение (5.108) достигается (рис. 5.26) в точке и равно:

Зафиксируем теперь пару и сформулируем задачу отыскания набора , максимизирующего

(5.109)

И удовлетворяющего ограничениям (5.96)–(5.98).

Максимум (5.109) достигается (рис. 5.24) в допустимой точке и равен .

Дальнейшая процедура поиска пары , максимизирующей вновь приводит к набору , .

Решение задачи закончено.

Контрольные вопросы

1. В чем состоит суть задач нечеткого математического программирования?

2. Каким образом применяется подход Беллмана – Заде к решению нечетких задач в различных постановках?

3. Каковы особенности первого подхода к решению задачи нечеткого математического программирования?

4. Каковы особенности второго подхода к решению задачи максимизации четкой целевой функции на нечетком множестве допустимых альтернатив?

5. Принцип решения задачи математического программирования, в которой параметры целевой функции и ограничений заданы нечетко?

< Предыдущая