20. Операции над нечеткими числами и интервалами (L-R)-типа

Простой и предельно формализованный способ представления нечетких чисел и нечетких интервалов с помощью функций (L-R)-типа инициировал разработку специфической технологии выполнения простейших операций с этими числами с использованием только значений параметров соответствующих функций (L-R)-типа [4, 13].

Пусть и – произвольные нечеткие числа (L-R)-типа, заданные в виде

Тогда основные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление) над этими числами реализуются следующим образом.

Сложение. Операция Сложения Нечетких чисел (L-R)-типа обозначается через, где параметры и результата определяются следующим образом:

. (4.8)

Вычитание. Операция Вычитания Нечетких чисел (L-R)-типа обозначается через, где параметры и результата определяются следующим образом:

. (4.9)

Операции умножения и деления нечетких чисел (L-R)-типа могут быть определены при выполнении некоторых дополнительных условий.

Умножение положительных нечетких чисел (L-R)-типа и , носители которых являются подмножествами , то есть модальные значения и – положительны. Операция Умножения Таких нечетких чисел (L-R)-типа обозначается через где параметры и результата определяются следующим образом:

(4.10)

Умножение Нечетких чисел (L-R)-типа и , для которых модальные значения имеют разные знаки: И . Операция Умножения Таких нечетких чисел (L-R)-типа также обозначается через где параметры и результата определяются следующим образом:

. (4.11)

Умножение Нечетких чисел (L-R)-типа и , для которых модальные значения и – отрицательны. Операция Умножения Таких нечетких чисел (L-R)-типа по-прежнему обозначается через где параметры и результата определяются следующим образом:

(4.12)

Деление Положительных нечетких чисел (L-R)-типа И , носители которых являются подмножествами . Операция Деления Таких нечетких чисел (L-R)-типа обозначается через параметры и определяются следующим образом:

(4.13)

Обратное нечеткое число для положительного нечеткого числа (L-R)-типа , носитель которого является подмножеством . В этом случае Обратное нечеткое число Обозначается через где параметры и определяются следующим образом:

. (4.14)

Проиллюстрируем сформулированные правила выполнения операций над нечеткими числами (L-R)-типа на конкретных примерах. Зададим нечеткое число – «нечеткая четверка» и число – «нечеткая двойка» соответствующими функциями принадлежности

Пример 4.13. Определим нечеткое число В соответствии с (4.9) имеем , где Соответствующая функция принадлежности имеет вид

График этой функции принадлежности приведен на рис. 4.10.

Рис. 4.10. График в результате выполнения операции сложения

Результатом выполнения операции сложения является «нечеткая шестерка».

Пример 4.14. Определим нечеткое число В соответствии с (4.10) имеем где Соответствующая функция принадлежности имеет вид

Рис. 4.11. График в результате выполнения операции вычитания

Результатом выполнения операции вычитания является «нечеткая двойка».

Пример 4.15. Определим нечеткое число В соответствии с (4.11) имеем где

Соответствующая функция принадлежности имеет вид

График этой функции принадлежности приведен на рис. 4.12.

Рис. 4.12. График в результате выполнения операции умножения

Результатом выполнения операции умножения является «нечеткая восьмерка».

Пример 4.16. Определим нечеткое число . В соответствии с (4.14) имеем где Соответствующая функция принадлежности имеет вид

График этой функции принадлежности приведен на рис. 4.13.

Результатом выполнения операции деления является «нечеткая двойка».

Рис. 4.13. График в результате выполнения операции деления

Приведенные выше правила выполнения операций над нечеткими числами -типа, естественно, верны для треугольных нечетких чисел. Для того чтобы правила (4.8)–(4.14) можно было реализовать применительно к треугольным нечетким числам, необходимо перейти от стандартной формы записи функции принадлежности (1.14) таких чисел к виду (4.7). Это легко сделать, если задать функцию -типа и -типа следующим образом: ; ; ; ; ; . Тогда функция принадлежности, заданная в форме

(1.14), примет стандартный для функций вид (4.7).

Пример 4.17. Пусть и – треугольные нечеткие числа с функциями принадлежности

Тогда функция принадлежности суммы этих чисел в соответствии с введенным правилом имеет вид

Из примера 4.17 видно, что сумма двух треугольных нечетких чисел есть снова треугольное число. Понятно, что это плохо согласуется с принципом обобщения. С учетом этого обстоятельства рассмотрим технологию реализации операции суммирования нечетких чисел, предложенную в [10].

Пусть по-прежнему два нечетких числа и заданы своими

Функциями принадлежности , . Тогда функция принадлежности числа определяется соотношением

. (4.15)

В этой формуле в полной мере отражается принципиальная позиция, в соответствии с которой при расчете значения функции принадлежности конкретного результата суммирования должны быть учтены все возможные комбинации слагаемых, определяющих при суммировании это значение . Это важное преимущество введенного с использованием (4.15) правила суммирования определило его широкое практическое использование. Следует заметить, что получаемая в соответствии с (4.15) функция принадлежности, естественно, не будет совпадать с функцией принадлежности для суммы тех же слагаемых, задаваемой (4.5). Дело в том, что по правилу (4.5) для любого нечеткого значения результата суммирования соответствующее значение функции принадлежности не может быть больше значений функции принадлежности слагаемых, задающих . В то же время для правила (4.15) значение функции принадлежности результата суммирования формируется по типу «сумма произведений» значений функций принадлежности слагаемых, то есть может быть больше любого из них.

Соотношение (4.15) в дискретном случае упрощается к виду

. (4.16)

Пример 4.18. Пусть и – «нечеткие двойки» с функциями принадлежности

.

Найдем функцию принадлежности нечеткого числа по правилу (4.16) и сравним результат с ранее полученным в соответствии с правилом (4.5). Имеем

В целях наглядности отобразим графически результаты суммирования по правилам (4.5) и (4.16).

Рис. 4.14. Функция принадлежности результата суммирования двух «нечетких двоек» по правилу (4.5)

Рис. 4.15. Функция принадлежности результата суммирования двух «нечетких двоек» по правилу (4.16)

Очевидный недостаток результата суммирования по правилу (4.5) состоит в равенстве степеней принадлежности четких нуля и единицы к нечеткому множеству , отображающему «нечеткую четверку», хотя из соображений здравого смысла степень принадлежности единицы к множеству должна быть выше степени принадлежности нуля. То же относится и к трудно объяснимому равенству степеней принадлежности множеству четких двойки и тройки, четких пятерки и шестерки, четких семерки и восьмерки. Функция принадлежности результата суммирования по правилу (4.16) имеет более естественный вид. С другой стороны, принципиальный недостаток обоих правил проявляется в том, что максимальное значение функции принадлежности результата не обязательно равно единице, то есть получающееся число не обязательно будет нормальным, не удовлетворяя при этом одному из основополагающих требований к нечетким числам. Кроме того, если функции принадлежности нечетких чисел и заданы на всей оси, то совершенно не мотивированной является фиксация верхнего предела для интеграла (4.15) на уровне .

Недостатки известных методик определения операций над нечеткими числами делает актуальной разработку некоторой ортодоксальной алгебры, задающей правила реализации основных алгебраических операций, удовлетворяющих двум основным требованиям: сохранение нормальности результата и соответствие принципу обобщения.

Рассмотрим произвольную бинарную операцию над двумя нечеткими числами и с функциями принадлежности , . Введем символ * произвольной бинарной операции (сложение, вычитание, умножение, деление), ставящей в соответствие элементам композиции чисел и результат . Одновременно с этим введем «обратную» операцию Ä, с использованием которой по результату композиции и одному из ее элементов (например, ) отыскивается второй элемент.

Пусть

,

,

,

.

Тогда с использованием «обратной» операции соответственно будем иметь

,

,

,

.

Функцию принадлежности бинарной композиции определим соотношением

. (4.17)

В частности, если * есть операция суммирования, то соответствующая результату функция принадлежности будет иметь вид

.

Нормализуем получаемую с использованием (4.17) функцию принадлежности, нормируя ее максимальным значением

. (4.18)

При этом для операции суммирования имеем

. (4.19)

Соотношение (4.18) для дискретных нечетких множеств приобретает вид

. (4.20)

Применим нормировку к результату суммирования двух «нечетких двоек» по правилу (4.16), полученному в примере 4.18. Имеем

График этой функции принадлежности приведен на рис. 4.16.

Рис. 4.16. Функция принадлежности результата суммирования двух «нечетких двоек» по правилу (4.20)

Функция принадлежности (4.18) результата выполнения бинарной операции, во-первых, реализует принцип обобщения и, во-вторых, удовлетворяет требованию нормальности.

Пример 4.19. Пусть и есть нечеткие треугольные числа, представляющие «нечеткие единицы». Зададим их функции принадлежности:

(4.21)

Найдем функцию принадлежности нечеткого числа , являющегося результатом суммирования нечетких чисел и с функциями принадлежности (4.21).

С целью удобства выполнения суммирования по формуле (4.19) найдем предварительно

Или

Теперь рассчитаем . Удобно интервал возможных значений нечеткого числа разбить на подынтервалы, в каждом из которых осуществляются вычисления по формуле (4.17). Носителем нечеткого числа , являющегося результатом суммирования , является интервал . Разобьем его на подынтервалы постоянства аналитических представлений функций принадлежности и .

При этом если , то

.

Если , то

Если , то

Наконец, если , то

В этих соотношениях учтена задаваемая (4.21) неотрицательность слагаемых в сумме , что и определяет особенности выбора верхних пределов в интегралах, используемых при расчете искомой функции принадлежности.

Объединяя полученное, имеем

Так как , то полученная функция – непрерывна. Легко проверить, что эта функция непрерывна также по первой и второй производным.

Проведем нормализацию функции . Так как

То

(4.22)

Построим график функции принадлежности нечеткого числа B, полученного в результате проведенной операции суммирования.

Таким образом, сумма двух треугольных нечетких чисел не есть треугольное число.

Рис. 4.17. Функция принадлежности

Сделаем важное замечание. Реализация процедуры отыскания максимального значения функции с последующей нормировкой, как правило, не является обременительной операцией. Для операций суммирования, вычитания, произведения двух нечетких чисел значение

,

Где

Пример 4.20. Выполним операцию суммирования, рассчитав сумму трех треугольных чисел с функцией принадлежности (4.21). Опуская несложные выкладки, приведем результат.

Максимальное значение достигается в точке Z = 3 и равно Тогда нормализованная функция принадлежности суммы A+A+A будет иметь вид

(4.23)

В соответствии с характером проделанных вычислений можно сделать вывод о том, что операция суммирования треугольных нечетких чисел коммутативна и ассоциативна.

Кроме того, как нетрудно видеть, кривая, соответствующая функции принадлежности суммы нескольких треугольных чисел, по мере увеличения числа слагаемых все более приобретает характер гауссоиды. В качестве приближения к функции принадлежности (4.22) выберем

где .

Соответствующие графики приведены на рис. 4.20. Они близки.

Рис. 4.18. Графики

Сказанное в еще большей степени справедливо относительно гауссова приближения к функции принадлежности суммы трех треугольных чисел. При этом гауссова кривая задается формулой

где .

Соответствующие графики приведены рис. 4.19.

Рис. 4.19. Графики

Непосредственные расчеты показывают, что при увеличении числа слагаемых гауссово приближение к результату суммирования становится все более точным. Этот факт позволяет использовать гауссову аппроксимацию для описания исходных «первичных» нечетких чисел. Есть еще одно существенное обстоятельство в пользу гауссова описания нечетких чисел: при выполнении операций сложения и вычитания двух гауссовых нечетких чисел по правилу (4.18), а также при умножении гауссова числа на скаляр снова получается гауссово число. Действительно, легко показать, что при суммировании двух нечетких чисел и с функциями принадлежности, соответственно равными

, (4.24)

Получим нечеткое число с функцией принадлежности

, (4.25)

.

Действительно, в соответствии с (4.17) имеем

Далее,

.

Тогда

.

Нормируя функцию принадлежности , получим

Где

Аналогично можно показать, что и разность двух гауссовых нечетких чисел является гауссовой.

Используя функции принадлежности (4.24), получим функцию принадлежности нечеткого числа . В соответствии с (4.17) имеем

.

Далее,

Тогда

Нормируя функцию принадлежности , получим

Где ; .

Наконец отметим, что и функция принадлежности результата умножения гауссова числа на константу является гауссовой. Пусть функция принадлежности числа А Имеет вид

Используя (4.3), получим функцию принадлежности числа Имеем

Введенные выше правила выполнения операций над нечеткими числами будут использованы в дальнейшем для решения практических задач.

Контрольные вопросы

1. В чем разница между нечетким интервалом и нечетким числом?

2. Дайте определение функции (L-R)-типа и укажите сферу использования такой функции.

3. Что такое нечеткое число и нечеткий интервал (L-R)-типа и при каких условиях нечеткий интервал превращается в нечеткое число?

4. Основные операции над нечеткими числами (L-R)-типа?

5. Основные правила выполнения операций над нечеткими числами (L-R)-типа?

< Предыдущая		Следующая >