13. Операции над нечеткими отношениями

Поскольку каждое нечеткое отношение представляет собой нечеткое множество, то применительно к нечетким отношениям оказываются справедливыми все операции, которые были определены выше в главе 2. В то же время при использовании нечетких отношений имеются дополнительные особенности, которые следует учитывать при оперировании соответствующими понятиями.

Пусть и – произвольные (конечные или бесконечные) K-арные Нечеткие отношения, заданные на одном и том же декартовом произве-

Дении универсумов .

Пересечение. Пересечением Двух нечетких отношений , называется некоторое третье нечеткое отношение , Заданное на этом же декартовом произведении универсумов , функция принадлежности которого определяется по формуле

, (3.12)

.

Результат операции пересечения двух отношений записывается в виде , где с функцией принадлежности , которая определяется по формуле (3.12). Операцию пересечения нечетких отношений в смысле (3.12) также называют min-пересечением или -пересечением. Поэтому функция принадлежности пересечения двух нечетких отношений, обозначаемая для краткости через , иногда записывается в виде , .

Пример 3.11. Вновь рассмотрим два бинарных нечетких отношения и , заданные на универсуме .

Нечеткое отношение отображает свойство: «натуральное число приблизительно равно натуральному числу ». Нечеткое отношение отображает свойство: «натуральное число несколько больше, чем натуральное число ». Пусть эти нечеткие отношения заданы матрицами:

, .

Тогда результат пересечения этих двух отношений будет задан матрицей:

Эта матрица описывает нечеткое отношение, соответствующее удовлетворению следующего сложного свойства: «натуральное число приблизительно равно, но при этом несколько больше натурального числа ».

Объединение. Объединением Двух нечетких отношений и называется некоторое третье нечеткое отношение , заданное на этом же декартовом произведении универсумов , функция принадлежности которого определяется по формуле

, (3.13)

.

Результат операции объединения двух отношений можно записать в виде , Где с функцией принадлежности , которая определяется по формуле (3.13). Операцию объединения нечетких отношений в смысле (3.13) называют -объединением или -объединением. Поэтому функция принадлежности объединения двух нечетких отношений, обозначаемая для краткости через , иногда записывается в виде .

Пример 3.12. Обратимся вновь к двум бинарным нечетким отношениям и , рассмотренным в предыдущем примере. Для этих отношений результат их объединения будет задан матрицей

.

Эта матрица описывает нечеткое отношение, соответствующее свойству: «натуральное число приблизительно равно или несколько больше натурального числа ».

Разность. Разностью Двух нечетких отношений и называется некоторое третье нечеткое отношение , заданное на этом же декартовом произведении универсумов , функция принадлежности которого определяется по формуле:

(3.14)

.

Операция разности двух нечетких отношений в смысле (3.14) по аналогии с обычными отношениями обозначается знаком \. Результат операции разности двух отношений можно записать в виде , Где с функцией принадлежности , которая определяется по формуле (3.14).

Симметрическая разность. Симметрической разностью Двух нечетких отношений и (Обозначается через ) называется такое нечеткое отношение , Функция принадлежности которого равна:

, (3.15)

.

При этом справедливо следующее утверждение: , т. е. симметрическая разность двух нечетких отношений представляет собой объединение двух разностей нечетких отношений и .

Пример 3.13. Для тех же нечетких отношений и запишем результат их разности в виде матрицы:

.

Эта матрица описывает нечеткое отношение, соответствующее свойству: «натуральное число приблизительно равно, но не превосходит значительно натуральное число ».

Для тех же отношений запишем результат выполнения симметрической разности:

.

Дополнение. Унарная операция дополнения нечеткого отношения обозначается через и определяется аналогично операции дополнения нечеткого множества, то есть , где функция принадлежности определяется по формуле

, (3.16)

.

Пример 3.14. Запишем результат выполнения операции дополнения для нечеткого отношения из примера 3.7.

Полученная матрица описывает нечеткое отношение, соответствующее свойству: «Натуральное число несколько меньше или равно, или даже больше, чем натуральное число »:

.

< Предыдущая		Следующая >