Вариант № 02

Задача 1

След. ряд (1) рас-ся, т. к. не вып-ся необходимый признак сход-ти числ. ряда.

Задача 2

;

Но ряд - сходящийся гармонический ряд, след-но, ряд (1) сх-ся по признаку сравнения.

Задача 3

Но ряд - сход-ся геометрич. прогрессия, след. ряд (1) сход-ся по призн. сравнения.

Задача 4

Но ряд - сход-ся гармон. ряд, след ряд (1) сх-ся по признаку сравнения.

Задача 5

след. ряд (1) расх-ся по признаку Даламбера.

Задача 6

След., несобственный инт-л I сх-ся, и вместе с ним сх-ся и ряд (1) по интегральному признаку Коши.

Задача 7

След ряд (1) сх-ся по радикальному признаку Коши.

Задача 8

(1) ряд (1) - знакочередующийся ряд Лейбница;

А) р-м:

Р-м: , - след. несобств.

Интеграл I расх-ся, а, след., расх-ся и ряд ; - след. ряд (1) не может сходиться абсолютно.

Б) р-м: - монотонно убывающая варианта при ,

Т. к. для :

- след. знакочередующийся ряд (1) сх-ся условно по теореме Лейбница.

Ответ: ряд (1) сх-ся условно.

Задача 9

- знакочередующийся ряд Лейбница.

Р-м: но ряд - сход-ся гармонический ряд,

След ряд - сх-ся по признаку сравнения, и след. ряд (1) сх-ся абсолютно.

Задача 10

(1) – знакопеременный ряд;

Р-м: но ряд - сходящийся гармонический ряд,

След ряд - сх-ся по признаку сравнения, и след ряд (1) сх-ся абсолютно.

Задача 11

(1) – степенной ряд

1) Р-м:

след., степенной ряд (1) сх-ся абсолютно при , или .

2) Р-м поведение степенного ряда (1) на границе промежутка сх-ти, т. е. в т. т.

Р-м:

Р-м: , и рассм. числовой ряд с положит. членами ;

Рассм.

Для всех (т. к. для возрастающей варианты справедливо неравенство: ) откуда следует, что в т. модуль общего члена ряда не убывает и поэтому не стремиться к нулю при , след. ряд (1) расх-ся при (т. к. не вып-ся необходимый признак сход-ти числ. ряда ).

Ответ: Степ. ряд (1) сх-ся абсолютно при

Задача 12

(1) – степенной ряд.

1) р-м:

След., степ. ряд (1) сх-ся абсолютно при , т. е. при .

2) Р-м: поведение степ. ряда (1) на границе промежутка сх-ти, т. е. в т. ;

Р-м:

ð , след ряд (1) расх-ся при (не выполняется необходимый признак сх-ти числ. ряда)

Ответ: Степенной ряд (1) сх-ся абсолютно при .

Задача 13

Задача 14

Задача 15

Задача 16

Разложим подынтегральную ф-цию в ряд:

Проинтегрируем почленно:

Получим знакочередующийся ряд, для которого:

Выпишем члены ряда:

,

След. достаточно взять 2 первых члена ряда: .

Задача 17

Ищем решение Y(X) задачи Коши (1)-(2) в виде суммы степ. ряда (ряда Тейлора по степеням ):

Определим неизвестные коэффициенты этого разложения:

Продифференцируем равенство (1) по х:

Продиф. равенство (3) по х:

=> Искомое решение задачи (1)-(2) имеет вид:

< Предыдущая		Следующая >