Вариант № 03

Задача 1

След. ряд (1) расх-ся, т. к. не вып-ся необходимый признак сход-ти ряда.

Задача 2

Но ряд - расходящийся гармонический ряд, след-но, ряд (1) расх-ся по признаку сравнения.

Задача 3

Но ряд - сх-ся гармонич. ряд, след. ряд (1) сх-ся по призн. сравнения.

Задача 4

Но ряд - сх-ся гармон. ряд, след ряд (1) сх-ся по признаку сравнения.

Задача 5

След. ряд (1) сх-ся по признаку Даламбера.

Задача 6

След., ряд (1) сх-ся по радикальному признаку Коши.

Задача 7

рассм.

След несобственный инт-л I сх-ся, а вместе с ним сх-ся и ряд (1) по интегр. признаку Коши.

Задача 8

- знакочередующийся ряд Лейбница;

А) р-м: но ряд - расх-ся гармонич. ряд;

След. ряд - расх-ся по призн. сравнения, и след. ряд (1) не может сходиться абсолютно.

Б) Монотонно убывает при и ,

След. знакочередующийся ряд (1) сх-ся условно по теореме Лейбница.

Ответ: ряд (1) сх-ся условно.

Задача 9

- знакочередующийся ряд Лейбница.

Р-м: но ряд - сход-ся гармонический ряд, след ряд сх-ся по признаку сравнения и, след., ряд (1) сх-ся абсолютно.

Задача 10

(1) – знакопеременный ряд; р-м:

Но ряд представ. собой сход-ся геометрич. прогрессию , след ряд сх-ся по признаку сравнения и, след., ряд (1) сх-ся абсолютно.

Задача 11

(1) – степенной ряд

1) Рассм:

След., степенной ряд (1) сх-ся абсолютно при , или .

2) Р-м поведение степенного ряда (1) на границе промежутка сх-ти, т. е. в т.

Р-м:

След. несобств. интеграл I сх-ся и вместе с ним сх-ся и ряд по интегральному признаку Коши, след. ряд (1) сх-ся абсолютно при .

Ответ: Степ. ряд (1) сх-ся абсолютно при

Задача 12

(1) – степенной ряд.

1) р-м:

След., степ. ряд (1) сх-ся абсолютно при , т. е. при .

2) Р-м: поведение степ. ряда (1) на границе промежутка сх-ти, т. е. в т.

Но ряд - расх. гармонич. ряд, след. степ. ряд (1) расх. при х1=1 по признаку сравнения;

Но ряд - расх-ся гармонич. ряд, след. расх-ся по признаку сравнения и, след., степенной ряд (1) не может сх-ся абсолютно при

Но - монотонно убывающая варианта и

След. ряд (1) при х=2 сх-ся условно по теореме Лейбница.

Ответ: Степенной ряд (1) сх-ся абсолютно при и сх-ся условно при х=2.

Задача 13

Задача 14

Задача 15

,

Задача 16 Разложим подынтегральную ф-ю в ряд:

Проинтегрируем почленно:

Получим знакочередующийся ряд, для которого:

Выпишем члены ряда:

=> Достаточно взять 2 первых члена ряда: .

Задача 17

Ищем решение Y(X) задачи Коши (1)-(2) в виде суммы степ. ряда (ряда Тейлора по степеням ):

Определим неизвестные коэффициенты этого разложения:

Продиф. равенство (4) по х:

=> Искомое решение задачи (1)-(3) имеет вид:

< Предыдущая		Следующая >