9.4. Функция двух случайных аргументов
Если каждой паре возможных случайных величин Х и 
соответствует одно возможное значение случайной величины 
то 
называют функцией двух случайных аргументов Х и И пишут
.
Если Х и 
Дискретные независимые случайные величины, то для нахождения распределения функции 
, надо найти все возможные значения , для чего достаточно для каждого возможного значения Х, равного 
, и каждого возможного значения 
равного 
, вычислить значение равное 
. Вероятности найденных возможных значений равны произведениям вероятностей 
и 
.
Пример 10.6. Дискретные независимые случайные величины Х и Заданы распределениями:
|
Х |
–2 |
–1 |
3 |
4 |
|
Р |
0,3 |
0,1 |
0,5 |
0,1 |
|
Y |
1 |
2 |
3 |
|
Р |
0,4 |
0,1 |
0,5 |
Найти распределения случайных величин: а) 
б) 
в) 
г) 
Решение. Для того чтобы составить указанные распределения величины надо найти все возможные значения и их вероятности. Все вычисления поместим в таблицу
|
Х |
|
|
|
|
|
|
|
–2 |
1 |
–1 |
–5 |
–2 |
–2 |
0,3 · 0,4 = 0,12 |
|
–2 |
2 |
0 |
–6 |
–4 |
–8 |
0,3 · 0,1 = 0,03 |
|
–2 |
3 |
1 |
–7 |
–6 |
–18 |
0,3 · 0,5 = 0,15 |
|
–1 |
1 |
0 |
–3 |
–1 |
–1 |
0,1 · 0,4 = 0,04 |
|
–1 |
2 |
1 |
–4 |
–2 |
–4 |
0,1 · 0,1 = 0,01 |
|
–1 |
3 |
2 |
–5 |
–3 |
–9 |
0,1 · 0,5 = 0,05 |
|
3 |
1 |
4 |
5 |
3 |
3 |
0,5 · 0,4 = 0,20 |
|
3 |
2 |
5 |
4 |
6 |
12 |
0,5 · 0,1 = 0,05 |
|
3 |
3 |
6 |
3 |
9 |
27 |
0,5 · 0,5 = 0,25 |
|
4 |
1 |
5 |
7 |
4 |
4 |
0,1 · 0,4 = 0,04 |
|
4 |
2 |
6 |
6 |
8 |
16 |
0,1 · 0,1 = 0,01 |
|
4 |
3 |
7 |
5 |
12 |
36 |
0,1 · 0,5 = 0,05 |
|
1,00 |
2
Объединив одинаковые значения и расположив их в порядке возрастания, получим следующие распределения:
А)
|
|
–1 |
0 |
1 |
2 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
0,12 |
0,07 |
0,16 |
0,05 |
0,20 |
0,09 |
0,26 |
0,05 |
Б)
|
|
–7 |
–6 |
–5 |
–4 |
–3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
0,15 |
0,03 |
0,17 |
0,01 |
0,04 |
0,25 |
0,05 |
0,25 |
0,01 |
0,04 |
В)
|
|
–6 |
–4 |
–3 |
–2 |
–1 |
3 |
4 |
6 |
8 |
9 |
12 |
|
|
0,15 |
0,03 |
0,05 |
0,13 |
0,04 |
0,20 |
0,04 |
0,05 |
0,01 |
0,25 |
0,05 |
Г)
|
|
–18 |
–9 |
–8 |
–4 |
–2 |
–1 |
3 |
4 |
12 |
16 |
27 |
36 |
|
|
0,15 |
0,05 |
0,03 |
0,01 |
0,12 |
0,04 |
0,2 |
0,04 |
0,05 |
0,01 |
0,25 |
0,05 |
Если Х и непрерывные независимые случайные величины, то плотность распределения 
суммы 
(при условии, что плотность распределения хотя бы одного из аргументов задана в интервале 
одной формулой) может быть найдена по формуле
Либо по равносильной формуле
Где 
и 
— плотности распределения аргументов.
Если возможные значения аргументов неотрицательны, то плотность распределения величины 
Находят по формуле
Либо по равносильной формуле
В том случае, когда обе плотности 
и 
заданы на конечных интервалах, для отыскания плотности величины 
целесообразно сначала найти функцию распределения 
, а затем продифференцировать ее по
.
Если Х и — независимые случайные величины, заданные соответствующими плотностями распределения 
и 
, то вероятность попадания случайной точки 
в область 
равна двойному интегралу по этой области от произведения плотностей распределения
Пример 10.7. Независимые нормально распределенные случайные величины Х и Заданы плотностями распределений 
, 
. Найти композицию этих законов, т. е. плотность распределения случайной величины 
Решение. Используем формулу 
Тогда
Ответ: 
.
Пример 10.8. Заданы плотности распределения независимых равномерно распределенных случайных величин Х и 
в интервале (0; 2), вне этого интервала 
, 
в интервале (0; 3), вне этого интервала 
. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Построить график распределения .
Решение. По условию, возможные значения Х определяются неравенством 
, — неравенством 
. Отсюда следует, что возможные случайные точки 
расположены в прямоугольнике ОАВС (рис. 10.1).
Рис. 10.1
Неравенству
удовлетворяют те точки 
плоскости 
которые лежат ниже прямой если же брать только возможные значения Х и У, то неравенство 
выполняется только для точек, лежащих в прямоугольнике ОАВС ниже прямой 
С другой стороны, так как величины Х и независимы, то
Где 
— величина той части площади прямоугольника ОАВС, которая лежит ниже прямой Величина этой площади зависит от значения 
Если 
то 
т. е. 
Если 
, то 
Если 
, то 
.
Если 
, то 
Если 
, то 
Итак, искомая функция распределения имеет вид
Найдем плотность распределения
Построим график этой функции (рис. 10.2)
 |
Рис. 10.2
Задачи для самостоятельного решения
10.11. Дискретные независимые случайные величины Х и заданы распределениями:
|
Х |
1 |
3 |
Y |
2 |
4 | |
|
Р |
0,3 |
0,7 |
Р |
0,6 |
0,4 |
Найти распределение случайной величины 
Ответ:
|
Z |
3 |
5 |
7 |
|
Р |
0,18 |
0,54 |
0,28 |
10.12. Дискретные случайные величины Х и заданы распределениями:
А)
|
Х |
10 |
12 |
16 |
Y |
1 |
2 | |
|
Р |
0,4 |
0,1 |
0,5 |
Р |
0,2 |
0,8 |
Б)
|
Х |
4 |
10 |
Y |
1 |
7 | |
|
Р |
0,7 |
0,3 |
Р |
0,8 |
0,2 |
Найти распределение случайной величины 
.
Ответ: а)
|
Z |
11 |
12 |
13 |
14 |
17 |
18 |
|
Р |
0,08 |
0,32 |
0,02 |
0,08 |
0,10 |
0,40 |
Б)
|
Z |
5 |
11 |
17 |
|
Р |
0,56 |
0,38 |
0,06 |
10.13. Независимые случайные величины Х и заданы плотностями распределений: 
, 
. Найти композицию этих законов, т. е. плотность распределения случайной величины .
Ответ: 
при 
, 0 при 
10.14. Независимые случайные величины Х и заданы плотностями распределений: 
, 
Найти плотность случайной величины
Ответ: 
при 
при 
10.15. Заданы плотности равномерно распределенных независимых случайных величин Х и 
в интервале 
, вне этого интервала , 
в интервале , вне этого интервала 
Найти функцию распределения и плотность случайной величины
Ответ: 
10.16. Заданы плотности распределения равномерно распределенных независимых случайных величин Х и в интервале 
вне этого интервала 
в интервале 
вне этого интервала . Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Построить график плотности распределения 
Ответ: 
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
