9.2. Функция одного случайного аргумента
Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называется функцией случайного аргумента Х и записывается .
Если Х — дискретная случайная величина и функция монотонна, то различным значениям Х соответствуют различные значения Y, причем вероятности соответствующих значений Х и Y одинаковы:
и
.
Если же немотонная функция, то различным значениям Х могут соответствовать одинаковые значения Y. В этом случае для отыскания вероятностей возможных значений Y следует сложить вероятности тех возможных значений Х, при которых Y принимает одинаковые значения.
Пример 10.1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения
Х |
2 |
3 |
5 |
7 |
Р |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,4 |
Найти закон распределения случайной величины Y, равной 2Х.
Решение. Находим возможные значения Y:
;
;
;
.
Так как функция монотонна, то вероятности
, т. е.
;
;
;
.
Запишем искомый закон распределения Y
Y |
4 |
6 |
10 |
14 |
Р |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,4 |
Пример 10.2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения
Х |
–3 |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
Р |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0,1 |
Найти закон распределения случайной величины .
Решение. Находим возможные значения случайной величины :
;
;
;
;
;
. Значения
И
встречаются только по одному разу, а значения
совпадают, поэтому вероятность того, что
, будет равна сумме вероятностей 0,2 + 0,1 = 0,3. Аналогично,
, поэтому
.
Напишем искомый закон распределения Y, расположив значения Y в порядке возрастания
Y |
0 |
1 |
4 |
9 |
Р |
0,1 |
0,5 |
0,3 |
0,1 |
Если Х — непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения , и если
— дифференцируемая строго монотонная функция, обратная функция которой
, то плотность распределения
случайной величины Y находят из равенства
.
Если функция в интервале возможных значений Х не монотонна, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в которых функция
монотонна, и найти плотности распределения
для каждого интервала монотонности, а затем представить
в виде суммы
.
Пример 10.3. Задана плотность распределения случайной величины Х, возможные значения которой заключены в интервале
. Найти плотность распределения случайной величины
.
Решение. Так как функция дифференцируемая и строго возрастает, то применима формула
, где
— функция, обратная функции
.
Находим :
. Тогда
,
. Искомая плотность распределения
. Так как Х изменяется в интервале
и У = 3Х, то
.
Ответ: ,
.
Пример 10.4. Случайная величина Х распределена по закону Коши
.
Найти плотность распределения случайной величины .
Решение. Функция монотонно возрастающая при всех
. Находим обратную функцию
:
. Тогда
,
,
.
Следовательно,
Ответ: .
Пример 10.5. Задана плотность Нормально распределенной случайной величины Х. Найти плотность распределения
Случайной величины
.
Решение. Так как в интервале функция
не монотонна, то разобъем этот интервал на интервалы
И
, в которых она монотонна. В интервале
Обратная функция
, в интервале
,
,
,
.
Искомую плотность распределения находим из равенства
,
.
Так как , причем
, то
. Таким образом, в интервале
искомая плотность распределения
, вне этого интервала
.
Ответ: при
,
при
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|