8.2. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством

Где Р(Х) — плотность распределения случайной величины Х. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу , то

Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох определяется равенством

Если интеграл сходится, или равносильным равенством

В частности, если все возможные значения Х принадлежат интервалу , то

Или

Все свойства математического ожидания и дисперсии для дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных величин.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется равенством

Модой непрерывной случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение (для которого плотность вероятности Р(Х) достигает максимума).

Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, для которого

Вертикальная прямая , проходящая через точку с абсциссой, равной , геометрически делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части (рис. 8.7).

Рис. 8.7

Очевидно, что .

Начальный теоретический момент порядка k непрерывной случайной величины Х определяется равенством

Центральный теоретический момент порядка K непрерывной случайной величины Х определяется равенством

Если все возможные значения Х принадлежат интервалу , то

, .

Очевидно, что ; ; ; ; . Центральные моменты выражаются через начальные моменты по формулам:

Математическое ожидание М(Х), или первый начальный момент, характеризует среднее значение распределения случайной величины Х; второй центральный момент, или дисперсия , — степень рассеяния распределения Х относительно М(Х).

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии распределения.

Величина называется Коэффициентом асимметрии случайной величины.

А = 0, если распределение симметрично относительно математического ожидания.

Четвертый центральный момент характеризует крутость распределения.

Эксцессом случайной величины называется число

Кривые более островершинные, чем кривая для нормального распределения, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные — отрицательным эксцессом.

Пример 8.7. Дана функция

При каком значении параметра С эта функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины Х? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Решение. Для того чтобы Р(Х) была плотностью вероятности некоторой случайной величины Х, она должна быть неотрицательна, т. е. , откуда и она должна удовлетворять свойству 4 плотности вероятности.

Следовательно,

Откуда

Найдем интеграл , применив метод интегрирования по частям

Таким образом,

И плотность распределения имеет вид

Следовательно,

Дисперсия

Вначале найдем

Теперь

Пример 8.8. Случайная величина Х распределена по «закону прямоугольного треугольника» в интервале

(рис. 8.8).

1. Написать выражение плотности распределения.

2. Найти функцию распределения F(Х).

3. Найти вероятность попадания случайной величины Х на участок от до А.

4. Найти характеристики величины Х: М(Х), D(Х), , .

Решение. Так как площадь прямоугольного треугольника есть площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, то она равна единице: И, следовательно, . Уравнение прямой АВ в отрезках имеет вид , откуда , то есть функция плотности распределения имеет вид

Найдем функцию распределения F(Х):

Если , то

Таким образом,

Вероятность попадания случайной величины Х на участок от До А определяется по формуле

Найдем математическое ожидание:

Следовательно,

Так как , а , ,

То .

Пример 8.9. По данным задачи 8.5 найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х), моду М0(Х) и медиану Ме(Х).

Решение. Так как

То .

Дисперсия

Вначале найдем

Следовательно,

График плотности вероятности Р(Х) имеет вид (рис. 8.9)

Рис. 8.9

Плотность вероятности р(Х) максимальна при х = 2, это означает, что М0(Х) = 2.

Из условия Найдем медиану Ме(Х): ; откуда

Пример 8.10. Дана функция

Найти коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины Х.

Решение. Плотность распределения случайной величины Х равна

Так как асимметрия , эксцесс , то найдем начальные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков:

Тогда

Так как то Следовательно,

Пример 8.11. Плотность случайной величины Х задана следующим образом:

Найти моду, медиану и математическое ожидание Х.

Решение. Найдем математическое ожидание Х:

Так как плотность распределения достигает максимума при Х = 1, то М0(Х) =1. Медиану Ме(Х) найдем из условия . Для этого вначале найдем функцию распределения :

Если , то

Таким образом,

Уравнение равносильно уравнению , откуда .

Пример 8.12. Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти математическое ожидание функции (не находя предварительно плотности распределения ).

Решение. Воспользовавшись формулой для вычисления математического ожидания функции от случайного аргумента Х

Где А и B — концы интервала, в котором заключены возможные значения Х, получим

Пример 8.13. Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти моду, математическое ожидание и медиану величины Х.

Решение. Так как , то отсюда видно, что при Х = 4 плотность распределения достигает максимума и, следовательно, М0(Х) = 4 (можно было найти максимум методами дифференциального исчисления).

Кривая распределения симметрична относительно прямой Х = 4, поэтому М(Х) = Ме(Х) = 4.

< Предыдущая		Следующая >