26. Непрерывное вероятностное пространство
Как уже говорилось ранее, множество элементарных исходов может быть более, чем счетным (то есть несчетным). В этом случае нельзя считать любое подмножество множества событием.
Чтобы ввести определение случайного события, рассмотрим систему (конечную или счетную) подмножеств пространства элементарных исходов.
В случае выполнения трех условий:
1) принадлежит этой системе;
2) из принадлежности А этой системе следует принадлежность этой системе;
3) из принадлежности и этой системе следует принадлежность Ai U Aj Этой системе
Такая система подмножеств называется Алгеброй.
Пусть — некоторое пространство элементарных исходов. Убедитесь в том, что две системы подмножеств:
1) , ; 2) , А, , (здесь А— подмножество W) являются алгебрами.
Пусть A1 и A2 принадлежат некоторой алгебре. Докажите, что A1 \ A2 и A1∩ A2 принадлежат этой алгебре.
Подмножество А несчетного множества элементарных исходов является событием, если оно принадлежит некоторой алгебре.
Сформулируем аксиому, называемую аксиомой А. Н. Колмогорова.
Каждому событию соответствует неотрицательное и не превосходящее единицы число P(А), называемое вероятностью события А, причем функция P(А) обладает следующими свойствами:
1) Р()=1
2) если события A1, A2,..., An несовместны, то
P(A1UA2U...UAn) = P (A1) + P (A2) +...+ P(An)
Если задано пространство элементарных исходов, алгебра событий и определенная на ней функция Р, удовлетворяющая условиям приведенной аксиомы, то говорят, что задано Вероятностное пространство.
Это определение вероятностного пространства можно перенести на случай конечного пространства элементарных исходов. Тогда в качестве алгебры можно взять систему всех подмножеств множества.
< Предыдущая | Следующая > |
---|