25. Геометрическая вероятность

В одном специальном случае дадим определение вероятности события для случайного эксперимента с несчетным множеством исходов.

Если между множеством W элементарных исходов случайного эксперимента и множеством точек некоторой плоской фигуры S (сигма большая) можно установить взаимно-однозначное соответствие, а также можо установить взаимно-однозначное соответствие между множеством элементарных исходов, благоприятствующих событию А, и множеством точек плоской фигуры S (сигма малая), являющейся частью фигуры S, то

,

Где S — площадь фигуры s, S — площадь фигуры S.

Пример. Два человека обедают в столовой, которая открыта с 12 до 13 часов. Каждый из них приходит в произвольный момент времени и обедает в течение 10 минут. Какова вероятность их встречи?

Пусть x — время прихода первого в столовую, а y — время прихода второго .

Рис.6

Можно установить взаимно-однозначное соответствие между всеми парами чисел (X;Y) (или множеством исходов) и множеством точек квадрата со стороной, равной 1, на координатной плоскости, где начало координат соответствует числу 12 по оси X и по оси Y, как изображено на рисунке 6. Здесь, например, точка А соответствует исходу, заключающемуся в том, что первый пришел в 12.30, а второй - в 13.00. В этом случае, очевидно, встреча не состоялась.

Если первый пришел не позже второго (Y ³ x), то встреча произойдет при условии 0 £ Y - x £ 1/6 (10 мин.- это 1/6 часа).

Если второй пришел не позже первого (X ³ Y), то встреча произойдет при условии 0 £ x - y £ 1/6..

Между множеством исходов, благоприятствующих встрече, и множеством точек области s, изображенной на рисунке 7 в заштрихованном виде, можно установить взаимно-однозначное cоответствие.

Искомая вероятность p равна отношению площади области s к площади всего квадрата.. Площадь квадрата равна единице, а площадь области s можно определить как разность единицы и суммарной площади двух треугольников, изображенных на рисунке 7. Отсюда следует:

< Предыдущая		Следующая >