21. Дискретные случайные величины

Часто результатом случайного эксперимента является число. Например, можно подбросить игральную кость и получить одно из чисел: 1,2,3,4,5,6. Можно подъехать к бензоколонке и обнаружить определённое число автомашин в очереди. Можно выстрелить из пушки и измерить расстояние от места выстрела до места падения снаряда. В таких случаях будем говорить, что имеем дело со случайной величиной.

Каждому исходу случайного эксперимента поставим в соответствие единственное число Xk — значение случайной величины. Тогда Естест­венно рассматривать Случайную величину как функцию, заданную на множестве исходов случайного эксперимента.

Случайная величина, которая может принимать лишь конечное или счётное число значений, называется Дискретной.

Случайные величины будем обозначать буквами греческого алфавита: x (кси), h (эта), ¼ Значения случайной величины будем записывать в виде конечной или бесконечной последовательности X1, X2,¼, Xn,¼

Если говорится, что задана случайная величина x, это значит, что каждому исходу wK случайного эксперимента поставлено в соответствие единственное число Xk, что записывается в виде равенства Xk = x(wK).

Некоторые из значений Xk могут совпадать, то есть различным исходам w может соответствовать одно и то же число X. Если все значения случайной величины совпадают, то будем говорить, что случайная величина постоянна.

Пусть АK — множество всех элементарных исходов, каждому из которых соответствует значение Xk (K = 1,2,¼,N) случайной величины x. Этот факт можно записать в виде формулы

Таким образом, АK – это событие (строго говоря, это верно лишь в случае конечного или счётного числа исходов). Для каждого события АK определим число РK ³ 0, равное вероятности этого события: РK = P(Ak). Очевидно, что

, AI∩AJ = Æ (I,J = 1,2,¼,N, I¹J), .

Теперь каждому значению Xk случайной величины x можно поставить в соответствие вероятность РK = P(Ak) события АK. Если такое соответствие определено то будем говорить, что задан Закон распределения диск­ретной случайной величины x. Обычно закон распределения диск­ретной случайной величины представляется в виде таблицы

X	Х1	Х2	Х3	¼	Хn	(1)
P	P1	P2	P3	¼	Pn

В дальнейшем для краткости будем называть величину Pi вероятностью значения Хi случайной величины. Отметим, что закон распределения содержит всю информацию о случайной величине, и задать случайную величину можно, просто представив её закон распределения.

Пусть две случайные величины

x = {X1,X2,¼,Xn}; h = {У1, у2,¼,УM} (2)

Определены на одном и том же пространстве элементарных исходов. Если АI (I = 1,2,¼,N) – событие, объединяющее все исходы, приводящие к значению ХI случайной величины x, а ВJ (J = 1,2,¼,M) – событие, объединяющее все исходы, приводящие к значению УI случайной величины h, то можно определить случайную величину z = x + h, которая принимает все возможные значения  = Xi + Yj. Каждому такому значению случайной величины z ставится в соответствие вероятность , равная вероятности пересечения событий АI и ВJ:

 = P(Ai∩Bj).

Таким образом определяется закон распределения суммы двух случайных величин. Также можно определить законы распределения разности x – h, произведения xh и частного случайных величин (последний лишь в случае, если h не принимает нулевого значения).

Две случайные величины

x = {X1,X2,¼,Xn}; h = {У1, у2,¼,УM},

Определённые на одном и том же пространстве элементарных исходов, имеющие законы распределения

X	Х1	¼	Xi	¼		H	Y1	¼	Yj	¼
Р		¼		¼		Р		¼		¼

Называются Независимыми, если при любых I и J выполняется равенство

Р((x = ХI) ∩ (h = Yj)) = 

Пример1. Брошены две игральных кости. Число очков, выпавшее на первой кости, – случайная величина x. Число очков, выпавшее на второй кости – случайная величина h. Считаем, что все исходы ((x = I)∩(h = J)) (I = 1,2,¼,6; J = 1,2, ¼,6) равновероятны, всего их 36, поэтому

P((x = I)∩(h = J)) = 

Так как P(x = I) =  и P(h = J)) = , очевидно, что по определению x и h – независимые случайные величины.

Пример 2. Даны две независимые случайные величины x и h с заданными законами распределения

X	0	1		H	1	2
Р				Р

Определим случайные величины a и b следующим образом: a = x + h, b = xh. Выясним, являются ли независимыми случайные величины a и b.

Составим закон распределения a. Наименьшее значение a равняется 1. Вероятность события a = 1 равна вероятности события (x = 0)∩(h = 1), которая в силу независимости x и h равна . Событие a = 2 совпадает с событием ((x = 0)∩(h = 2))((x = 1)∩(h = 1)). Его вероятность равна

.

Максимальное значение a, равное 3, имеет вероятность . Таким образом, закон распределения случайной величины a можно представить таблицей

A	1	2	3
Р

Закон распределения b представляется таблицей

B	0	1	2
Р

Рассмотрим события a = 3 и b = 0. Очевидно, что

Р(a = 3) Р(b = 0) = 

С другой стороны, событие (a = 3)∩(b = 0) – невозможное, так как a = 3 только при x = 1, а b = 0 лишь при x = 0. Отсюда следует, что

Р((a = 3)∩(b = 0)) = 0,

И теперь ясно, что, по крайней мере, в одном случае условие определения независимости для случайных величин a и b не выполняется. Отсюда следует, что эти случайные величины зависимы.

< Предыдущая		Следующая >