16. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли

Рассмотрим случай многократного повторения одного и того же испытания или случайного эксперимента. Результат каждого испытания будем считать не зависящим от того, какой результат наступил в предыдущих испытаниях. В качестве результатов или элементарных исходов каждого отдельного испытания будем различать лишь две возможности:

1) появление некоторого события А;

2) появление события , (события, являющегося дополнением А)

Пусть вероятность P(A) появления события А постоянна и равна P (0<.P<1). Вероятность P() события обозначим через Q: P() = 1- p=q.

Примерами таких испытаний могут быть:

1) подбрасывание монеты: А - выпадение герба; - выпадение цифры.

P(A) = P() = 0,5.

2) бросание игральной кости: А - выпадение количества очков, равного пяти, выпадение любого количества очков кроме пяти.

P(A) =1/6, P() =5/6.

3) извлечение наудачу из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шара, одного шара (с возвращением): А - извлечение белого шара, - извлечение черного шара

P(A) = 0,7; P() = 0,3

Пусть произведено N испытаний, которые мы будем рассматривать как один сложный случайный эксперимент. Составим таблицу из N клеток, расположенных в ряд, пронумеруем клетки, и результат каждого испытания будем отмечать так: если в I-м испытании событие А произошло, то в I-ю клетку ставим цифру 1, если событие А не произошло (произошло событие), в I-ю клетку ставим 0.

Если, например, проведено 5 испытаний, и событие А произошло лишь во 2 -м и 5-м испытаниях, то результат можно записать такой последовательностью нулей и единиц: 0; 1; 0; 0; 1.

Каждому возможному результату N испытаний будет соответствовать последовательность N цифр 1 или 0, чередующихся в том порядке, в котором появляются события A и в N испытаниях, например:

1; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 0; ... 0; 1; 1; 0

14444442444443

n цифр

Всего таких последовательностей можно составить (это читатель может доказать сам).

Так как испытания независимы, то вероятность P каждого такого результата определяется путем перемножения вероятностей событий A и в соответствующих испытаниях. Так, например, для написанного выше результата найдем

P = p×P×Q×P×Q×P×Q×Q×...×Q×P×P×Q

Если в написанной нами последовательности единица встречается х раз (это значит, что нуль встречается N-x раз), то вероятность соответствующего результата будет Pnqn-x Независимо от того, в каком порядке чередуются эти X единиц и N-x нулей.

Все события, заключающиеся в том, что в N испытаниях событие A произошло X раз, а событие произошло N-x раз, являются несовместными. Поэтому для вычисления вероятности объединения этих событий (или суммы этих событий), нужно сложить вероятности всех этих событий, каждая из которых равна Pnqn-x . Всего таких событий можно насчитать столько, сколько можно образовать различных последовательностей длины N, содержащих X цифр "1" и N-x цифр "0". Таких последовательностей получается столько, сколькими способами можно разместить X цифр "1" (или N-x цифр "0") на N местах, то есть число этих последовательностей равно

Отсюда получается Формула Бернулли:

Pn(X) =

По формуле Бернулли рассчитывается вероятность появления события A "X"раз в N повторных независимых испытаниях, где P - вероятность появления события A в одном испытании, Q - вероятность появления события в одном испытании.

Сформулированные условия проведения испытаний иногда называются "Схемой повторных независимых испытаний" или "Схемой Бернулли"

Число X появления события A в N повторных независимых испытаниях называется частотой.

Пример. Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров наудачу выбирается с возвращением 5 раз подряд один шар. Подсчитать вероятность того, что 4 раза появится белый шар.

В приведенных выше обозначениях N=8; P=1/4; Q=3/4; X=5. Искомую вероятность вычисляем по формуле Бернулли:

По формуле Бернулли можно подсчитать вероятности всех возможных частот: X=0,1,2,3,4,5.

Заметим, что если в этой задаче считать, что белых шаров было 20000, а черных 60000, то очевидно P и Q останутся неизменными. Однако в этой ситуации можно пренебречь возвращением извлеченного шара после каждой выборки (при не слишком больших значениях x) и считать вероятности всех частот: x=0,1,2,... по формуле Бернулли.

Формула Бернулли при заданных числах P и N позволяет рассчитывать вероятность любой частоты X (0 £ X £ N). Возникает естественный вопрос: какой частоте будет соответствовать наибольшая вероятность?

Предположим, что такая частота существует, и попытаемся ее определить из условия, что вероятность этой частоты не меньше вероятности "предыдущей" и "последующей" частот:

Pn(X) ³ Pn (X-1); Pn(X) ³ Pn (X+1) (1)

Первое неравенство (*) представляется в виде:

,

Что эквивалентно или . Отсюда следует:

Решая второе неравенство (1), получим

Таким образом, частота, имеющая наибольшую вероятность (чем вероятнейшая частота), определяется двойным неравенством

Если Np + p – целое число (тогда и Np – Q – целое число), то две частоты: X=np – Q и X=np + P обладают наибольшей вероятностью. Например, при , наивероятнейшие частоты: X = 3; X = 4.

< Предыдущая		Следующая >