1.1. Основные понятия и определения

Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) Называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производные , т. е. уравнение вида .

Если дифференциальное уравнение разрешено относительно старшей производной и представлено в виде , то его называют Дифференциальным уравнением, разрешенным относительно производной.

Порядком Дифференциального уравнения называют порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, дифференциальное уравнение является уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. Соответственно, уравнение есть дифференциальное уравнение второго порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения порядка называют функцию , определенную на интервале вместе со своими производными до -го порядка включительно, которая обращает исходное дифференциальное уравнение в тождество относительно всех .

Пример. Проверим непосредственно по определению, что заданная на открытом и неограниченном справа интервале , функция Есть решение дифференциального уравнения первого порядка .

Действительно, функция имеет первую производную на указанном промежутке , равную .

Левая часть уравнения Тождественно равна правой части уравнения. По определению это означает, что функция есть решение данного дифференциального уравнения.

Иногда решение дифференциального уравнения удается получить только в неявном виде . В этом случае уравнение Называют Интегралом дифференциального уравнения. График решения или интеграла называют Интегральной кривой И обычно изображают в декартовой системе координат в виде соответствующей кривой.

Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к вычислению конечного числа интегралов и производных от функций с применением конечного числа алгебраических операций, то говорят, что дифференциальное уравнение Интегрируется в квадратурах или использован точный метод решения. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называют интегрированием уравнения.

Класс интегрируемых в квадратурах уравнений достаточно узок, поэтому для решения дифференциальных уравнений широко используются Численные методы решения.

В первую очередь рассмотрим точные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка.

Следующая >