31. Бескоалиционные игры. Общие сведения

Антагонистические игры, которые рассматривались в предыдущих главах книги, описывают конфликты частного вида, которые не всегда адекватны разным ситуациям или вообще не могут считаться приемлемыми.

В частности, антагонистические игры не затрагивают конфликты с числом игроков больше двух. Более того, даже в конфликтах с двумя игроками интересы сторон не всегда противоположны. Во многих конфликтах одна из ситуаций может оказаться предпочтительнее другой для обоих игроков.

Бескоалиционные игры являются играми более общей природы. Бескоалиционность понимается в том смысле, что группам игроков (“коалициям”) не приписывается ни каких-либо интересов, за исключением тех, которые вытекают из интересов отдельных игроков. Целью каждого игрока в такой игре является только получение по возможности наибольшего индивидуального выигрыша.

Определение 1. Бескоалиционной игрой называется игра N игроков (N³2), каждый из которых имеет множество стратегий , с функцией выигрыша Нi(X), , где XÎC – ситуация, задаваемая на множество C декартового произведения стратегий Cі.

Определение 2. Бескоалиционная игра называется игрой с постоянной суммой, если существует такое постоянное С, что , для всех ситуаций XÎC.

Класс антагонистических игр является классом игр двух лиц с нулевой суммой.

Определение 3. Конечная бескоалиционная игра двух игроков с ненулевой суммой называется биматричной игрой.

Как и в случае антагонистических игр необходимо выработать принципы оптимального поведения игроков в бескоалиционных играх и найти решения (оптимальные стратегии каждого из игроков).

Для класса антагонистических игр принципом оптимальности является принцип максимина. В общих бескоалиционных играх возможны ситуации одновременного увеличения выигрышей всех игроков или хотя бы их одновременного выигрыша, поэтому в этих играх необходимо ввести формализованное описание таких понятий, как выгодность, устойчивость и справедливость того или иного решения игры.

Определение 4. Ситуация Х в игре называется приемлемой для игрока І, если для любой его стратегии

, (5.1)

Т. е. при применении і-м игроком в данной ситуации всех других стратегий, его выигрыш не может увеличиться.

Определение 5. Ситуация в игре, приемлемая для всех игроков, называется ситуацией равновесия по Нэшу (равновесной ситуацией).

Иными словами, ситуация Х называется равновесной, если для любого игрока іÎN выполняется условие (5.1).

Из определения видно, что ни один из игроков не заинтересован в отклонении от своей стратегии, образующих в совокупности ситуацию равновесия.

В случае антагонистической игры приемлемые стратегии игроков совпадают с их оптимальными стратегиями. Для неантагонистических игр понятие оптимальной стратегии может вообще не иметь смысла: в таких играх оптимальными оказываются не стратегии отдельных игроков, а их сочетания для всех игроков сразу. В бескоалиционных играх как оптимальные следует квалифицировать не действия того или иного игрока, а совокупность действий всех игроков.

Поэтому в бескоалиционной игре решение игры – это чаще, нахождение ситуаций равновесия.

Пример 1. Игра “Семейный спор”

Одна из наиболее распространенных интерпретаций игры следующая. Муж (первый игрок) и жена (второй игрок) могут выбрать одно из двух вечерних развлечений: футбольный матч или балет. Естественно предположить, что муж предпочтет футбол, а жена – балет. Однако для обоих гораздо важнее идти вместе, чем смотреть предпочитаемое зрелище в одиночестве. В данной 2х2 биматричной игре функции выигрышей Н1 и Н2 соответственного первого и второго игроков можно представить в виде

и ,

Где стратегии игрока 1: А1 – выбираю футбол; А2 – иду на балет; игрока 2: В1 – иду на футбол, В2 – на балет.

Очевидно, что для первого игрока предпочтительнее ситуация (А1, В1), а для второго (А2, В2), и эти ситуации являются равновесными. Однако в данном примере как будет показано ниже, есть еще и третья ситуация равновесия, состоящая в выборе игроками смешанных стратегий: ; с ценой игры для обоих игроков .

Однако выигрыши каждого из игроков в этой ситуации равновесия меньше, чем в двух первых ситуациях равновесия, где они равны 2 или 1, в зависимости от ситуации и игрока.

Хотя стратегии (А1,В1) и (А2,В2) являются оптимальными, поскольку дают максимальные выигрыши, однако приносят игрокам не одинаковые выигрыши, поэтому не являются справедливыми.

Отметим также, что если в матричной игре ни одному из игроков не выгодно информировать противника о своей стратегии, то в данной биматричной игре это свойство не выполняется.

Действительно, если игроки не общаются до игры и оба обладают твердыми характерами, т. е. первый игрок выбирает стратегию А1, а второй – В2, то в результате они оба проигрывают. Аналогичная ситуация получиться и в том случае, когда каждый из игроков имеет мягкий характер и решает уступить. Так сочетание устойчивости со справедливостью вступает в противоречие с сочетанием устойчивости и выгодности.

Лучшим для игроков в рассматриваемой игре является договорный вариант (А1,В1) или (А2,В2), причем справедливым решением будет их выбор одного из этих вариантов путем бросания монеты. Выпадение герба будет означать, например, что семейство идет на матч по футболу, а решки – на балет. Заметим, что в антагонистической игре в отличие от биматричной нет смысла вести переговоры до игры и уславливаться о совместном плане действий. В рассматриваемой игре, ясно, что если игроки договорились бы играть оба, скажем первую чистую стратегию, причем игрок 1 за получение большего выигрыша, чем игрок 2, заплатил бы ему 1/2, то решение было бы выгодным и справедливым для обоих игроков. Однако в рамках бескоалиционных игр такого рода дележи не предусматриваются.

< Предыдущая		Следующая >