2.4. Некоторые принципы принятия решений в ИО

В процессе принятия решений всегда возникают многочисленные трудности. Например,

Большое число критериев, которые не всегда согласованы между собой, как например, максимальная надежность и минимальной стоимости. Такие критерии противоречивы, поэтому возникает задача компромисса между ними.

Высокая степень неопределенности, которая обусловлена недостаточной информацией для обоснованного принятия решения. Любой процесс принятия решения включает следующие элементы:

Цель. Необходимость принятия решения определяется целью или несколькими целями, которые должны быть достигнуты.

Лицо, принимающее решение, должно нести ответственность за последствия этих решений.

Альтернативные решения (различные варианты достижения целей).

Внешняя среда (совокупность внешних факторов, влияющих на исход решения).

Исходы решений, т. е. результаты, к которым они приходят.

Правила выбора решений (решающие правила).

Эти правила позволяют определить наиболее предпочтительное в смысле выбранного критерия решения.

Решающее правило отражает информированность лица, принимающего решение, о возможных исходах выбранных решений, а также предпочтительность тех илииных исходов.

Теория принятия решений использует различные процедуры, позволяющие формализовать предпочтения, т. е. выразить их в единой количественной мере. Основой для таких процедур является Теория полезности, разработанная Дж. Фон Нейманом и О. Моргенштерном. Ее математическая основа – система аксиом, в которых утверждается, что существует некоторая мера ценности, позволяющая упорядочить результаты решений. Эта мера называется функцией Полезности Решений или Полезностью.

В зависимости от условий внешней среды и степени информированного лица существует следующая квалификация задач принятия решений:

А). в целях неопределенности;

В). в условиях риска;

С). в условиях неопределенности;

D). в условиях конфликтных ситуаций или противодействия ( активного противника).

Принятие решений в условиях определенности

Характеризуется однозначной или детерминированной связью между принятым решением и его исходом. Основная трудность – наличие критериев, по которым следует сравнивать исходы.

Здесь возникает задача принятия решений при так называемом “выборном критерии”.

Пусть имеется совокупность критериев F1(x), F2(x), …, Fn(x), хÎХ.

Пусть для определенности все Fi(x)-> max, тогда следующие случаи:

Если все критерии измеряются в одной шкале, то обобщенный критерий F0(x) модно записать в виде взвешенной суммы критериев

, , где wi – вес соответствующего критерия. В этом случае необходимо найти

Если же критерии измеряются в различных шкалах, то необходимо привести их к одной шкале. Для этого формируют критерий

,

Fi(xi*) ¹0, где

Т. е. требуется свести к минимуму величину отклонения каждого критерия от его максимального значения.

При таком формировании обобщенного критерия можно добиться высоких показателей по одним критериям за счет ухудшения показателей его другим.

Может случиться, что значения некоторых частных критериев могут оказаться меньше предельно допустимых значений Fi(x)< Fi доп. Т. е. очень часто необходимо, чтобы выполнялось условие Fi(x)>= Fiдоп. В таком случае можно предполагать еще один способ образования обобщенного критерия.

Допустим, что по каждому критерию определены значения Fi доп, i=1..n. Тогда, используя обобщенный критерий

,

Дополняют систему ограничений соотношениями

Fi(x)>= Fi доп

Бывает, что критерии упорядочены по предпочтению F1(x), F2(x), … , Fn(x) , тогда задача отыскания оптимального решения может быть записана следующим образом:

, при F2 доп£F2(x)

…..

Fn доп£Fn(x).

Предположим, что критерии F1(x), F2(x), … , Fn(x) могут принимать только два значения 0 или 1 :

Fi(x)=1, если i-ая цель достигнута, 0- иначе.

Тогда обобщенный критерий может быть образован логическим объединением отдельных критериев.

А) в виде конъюнкций критериев Fi , если общая цель операции состоит в выполнении всех целей одновременно, т. е.

В) в виде дизъюнкции критериев, причем общая цель достигается, если достигается хотя бы одна частная цель, т. е.

Методика определения полезности. Для принятия решений необходимо установить предпочтения различных критериев (меру полезности) для лица, принимающего решения ( Р. Акоф, М. Сасиени). Применение теории полезности основывается на следующих аксиомах:

1.Результат хi оказывается предпочтительнее хj тогда и только тогда, когда

U(хi)>= U(хj), где U(хi) и U(хj)

- полезность результатов хi и хj соответственно.

2.Транзитивность. Если хi > хj, а хj> хk, то U(хi)> U(хk).

3. Линейность. Если некоторый результат х представлен в виде

4. Аддитивность. Если U(х1, х2)-полезность от достижения одновременно результатов х1 и х2 , то свойство аддитивности U(х1, х2)= U(х1)+ U(х2).

Аналогично, если имеется и результатов х1, х2, …, хn, достигается одновременно, то

Рассмотрим несколько вариантов методики определения полезности в различных случаях. Этот метод основан на допущении, что если “чистая ” полезность результата х равна U, а вероятность его получения равна Р, то общая полезность результата в такой ситуации равна pU. Иначе говоря, безразлично, какой получается результат: с полезностью pU или с полезностью U при вероятности p.

Это – принципиальное допущение относительно поведения человека, которое при некоторых обстоятельствах может оказаться несправедливым.

I Случай, когда имеется два результата.

Определяем, какой результат предпочтителен для лица, принимающего решение. Пусть х1 > х2

Затем определяем такую вероятность a, при которой достижение результата х1 будет эквивалентно результату х2 , получаемому с вероятностью 1 ( иногда из задачи, может быть на основании оценок экспертов).

Оцениваем соотношение между полезностями результатов х1 и х2. Для этого примем полезность U(х2)=1.

Тогда aU(х1)= U(х2), U(х1)=1/a.

II Случай, когда имеется n возможных результатов х1, х2,…, хn, между которыми установлено отношение предпочтения х1> х2>…> хn.

Определяем величину a1 из условия a1U(х1)= U(х2)

Аналогично определяем a2U(х2)= U(х3)

……….

An-1U(хn-1)= U(хn)

3. Положив полезность наименее предпочтительного варианта хn равной 1,

Находим U(хn)=1,

U(хn-1)=1/an-1,

……….

U(х1)=1/Õn-1i=1ai.

III Случай, когда критерии являются качественными и результаты типа “да - нет” с независимыми полезностями.

Предположим, что имеется n результатов х1,х2,… ,хn. . Методика определения полезности состоит из этапов.

1. Предложить руководителю (эксперту) упорядочить результаты по предпочтительности. Пусть х1 - наиболее, хn.- наименее предпочтительный результаты.

2.Приписать полезности результата хn значение 1 и предложить руководителю приписать различные числа остальным результатам, обращающим их относительную ценность для него (не сообщать этих чисел ему на следующем шаге).

3.Состовляют таблицу возможных вариантов выбора( комбинаций результатов), достигаемых одновременно, и затем устанавливают их предпочтение относительно отдельных результатов х1, х2,…, хn.:

1	X1 или x2 +…+ xn	X2 или x3+…+ xn	….	Xn-2 или xn-1 + xn
2	X1 или x2 +…+ xn-1	X2 или x3 +…+ xn-1	….
3	X1 или x2 +…+ xn-2	X2 или x3 +…+ xn-2	….
…	………………….	………………….	….
N	X1 или x2 +x3	X2 или x3 + x4	….

Рассмотреть приведенные варианты выбора, начиная с верхней строки левого столбца. Если левая часть первого варианта выбора предпочтительнее или эквивалентна правой части, то перейти к верхней строке правого столбца (следующего). В противном случае продолжить просмотр столбца.

Проверить числа, полученные на шаге 2. , и определить, удовлетворяют ли они неравенствам, принятым на шаге 3. Если обнаруживается несоответствие, то изменить в минимально возможной степени числовые оценки так, чтобы они удовлетворяли числовым неравенствам.

Пример. Пусть эксперт упорядочивает 5 результатов x1 +…+ x5 , приписав им следующие оценки U0(x1)=7, U0(x2)=4, U0(x3)=2, U0(x4)=1.5, U0(x5)=1.

Рассмотрев возможные варианты выбора он высказал следующее суждение относительно ценности тех или иных комбинаций результатов :

1) x1 < x2+x3+x4+ x5 5) x2 < x3+x4+ x5 7) x3 >x4+ x5

2) x1 < x2+x3+x4 6) x2> x3+x4

3) x1 < x2+x3+ x5

4) x1 > x2+x3

Необходимо произвести оценку полезности результатов так, чтобы удовлетворить всем неравенствам, начиная с последнего неравенства.

Подставляем начальные оценки в неравенство 7)

Т. е. 7) не выполняется. Тогда изменяем полезность результата х3 : U1(x3)=3, тогда 7) будет выполнятся и проверяем неравенство 6) :

Это неравенство тоже не выполняется. Примем U1(x2)=5. Проверяем неравенство 5):

– неравенство выполняется. Проверяем неравенство 4):

Примем U1(x1)=8.5 Проверяем неравенство 3):

Проверяем неравенство 2):

Проверяем неравенство 1):

Окончательные оценки полезностей:

U1(x1)=8.5, U1(x2)=5, U1(x3)=3, U1(x4)=1.5,

U1(x5)=1.

Ясно, что такая методика становится практически нереализуемой при увеличении числа результатов.

Для такой ситуации была предложена следующая модификация методики. Множество результатов разбивают на подмножества, состоящие из 5-7 результатов и имеющие Один общий результат, например x1 .Затем приписывают начальные значения полезностям всех результатов, причем полезность общего результата x1 одинакова во всех подмножествах. Далее применяют изложенный способ коррекции оценок полезности независимо в каждом из подмножеств с ограничением U(x1)=const. В результате получают систему полезностей с единой мерой для всех подмножеств U(x1).

Принятие решений в условиях риска.

Такая задача возникает в том случае, когда с каждой принимаемой стратегией xi связано целое множество различных результатов 01, 02,…, 0m c известными вероятностями Р(0j/xi).

Формально модель задачи может быть представлена в виде следующей матрицы:

Xi\0j	01	02	…..	0m
X1	L11	L12	…..	L1m
X1	L21	L22	……	L2m
……	…..	…..	……
Xn	Ln1	Ln2	……	Lnm

Где Lij = U1(0j, xi) – полезность результата 0j при использовании решения xi

Пусть заданы условные вероятности Р(0j/xi), i =1…n, j=1…m.

Вводят ожидаемую полезность для каждой стратегии

Решающее правило для определения оптимальной стратегии: нужно выбрать ту стратегию, которая дает максимально ожидаемую полезность:

< Предыдущая		Следующая >