1.3.5. Графический метод решения игр 2 х n и m х 2
1.3.5. Графический метод решения игр 2 х n и m х 2.
Поясним метод на примерах для игроков 1 (А) и 2 (В).
Пример 1.
Рассмотрим игру, заданную платёжной матрицей.
На плоскости хОy введём систему координат и на оси Ох отложим отрезок единичной длины А1, А2, каждой точке которого поставим в соответствие некоторую смешанную стратегию игрока 1 (х, 1 - х). В частности, точке А1 (0;0) отвечает стратегия А1, точке А2 (1;0) – стратегия А2 и т. д.
В точках А1 и А2 восстановим перпендикуляр и на полученных прямых будем откладывать выигрыш игроков. На первом перпендикуляре (в данном случае он совпадает с осью 0y) отложим выигрыш игрока 1 при стратегии А1, а на втором – при стратегии А2. Если игрок 1 применит стратегию А1, то выиграет при стратегии В1 игрока 2 – 2, при стратегии В2 – 3, а при стратегии В3 – 11. Числам 2, 3, 11 на оси 0х соответствуют точки В1, В2 и В3.
Если же игрок 1 применит стратегию А2, то его выигрыш при стратегии В1 равен 7, при В2 – 5, а при В3 – 2. Эти числа определяют точки В¢1, В2¢, В3¢ на перпендикуляре, восстановленном в точке А2.Соединяя между собой точки В1 и В¢1, В2 и В¢2, В3 и В¢3 получим три прямые, расстояние до которых от оси 0х определяет средний выигрыш при любом сочетании соответствующих стратегий. Например, расстояние от любой точки отрезка В1В¢1 до оси 0х определяет средний выигрыш u1 при любом сочетании стратегий А1 А2 (с частотами Х и 1–Х) и стратегией В1 игрока 2. Это расстояние равно
2х1 + 6(1 - х2) = u1
(Вспомните планиметрию и рассмотрите трапецию А1 B1 B¢1 A2). Таким образом, ординаты точек, принадлежащих ломанной В1 M N В¢3 определяют минимальный выигрыш игрока 1 при применении им любых смешанных стратегий. Эта минимальная величина является максимальной в точке N; следовательно этой точке соответствует оптимальная стратегия Х* = (Х, 1-Х), а её ордината равна цене игры U. Координаты точки N находим как точку пересечения прямых В2 B¢2 и В3 B¢3.
Соответствующие два уравнения имеют вид
.
Следовательно Х = (
; 
), при цене игры U = 
. Таким образом мы можем найти оптимальную стратегию при помощи матрицы
Оптимальные стратегии для игрока 2 можно найти из системы
И, следовательно, Y = (0; ; 
). (Из рисунка видно, что стратегия B1 не войдёт в оптимальную стратегию.
Пример 2. Найти решение игры, заданной матрицей
Решение. Матрица имеет размерность 2 х 4. Строим прямые, соответствующие стратегиям игрока 1. Ломанная А1 K А¢4 соответствует верхней границе выигрыша игрока 1, а отрезок N K –цене игры. Решение игры таково
U = (
; 
); Х = (
; 0; 0; 
); u = .
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
