79. Сингулярный интеграл типа Коши
Опр: Пусть - область и - гладкая жорданова кривая и непрерывна на ней по Гёльдеру с показателем . Рассмотрим интеграл .
Утверждение: Этот интеграл сходится в смысле главного значения.
Доказательство: . Так как сходится абсолютно, осталось показать, что сходится в смысле Пусть и , , и (см. рисунок) по теореме Коши , где второй интеграл берется в положительном направлении относительно и, следовательно, в отрицательном направлении относительно окружности (см. рисунок). Сделаем замену , , меняется против часовой стрелки (см. рисунок). Легко видеть, что при , разворот угла стремится к . После Приятных сокращений получаем: , откуда следует, что . Утверждение доказано.
Следствие: Так как непрерывна по Гельдеру по условию и непрерывна по Гёльдеру по утверждению Привалова с одним и тем же показателем , то и будет непрерывной по Гёльдеру на с тем же показателем.
< Предыдущая | Следующая > |
---|