78. Функции, непрерывные по Гёльдеру и свойства интегрального оператора

Опр: Пусть - область и . Комплекснозначная функция на называется Непрерывной по Гёльдеру с показателем , если .

Опр: Пусть непрерывна по Гёльдеру на , тогда определим интегральный оператор для : . Это несобственный интеграл, так как при знаменатель обращается в ноль.

Лемма: , где дуга . (Из леммы следует абсолютная сходимость интеграла )

Доказательство: Пусть - стандартный радиус гладкой кривой и пусть - такое, что - дуга и на этой дуге , где (см. рисунок). Это возможно в силу леммы о стандартном радиусе (2 пункт). Тогда в силу гёльдеровости функции и того, что , оценим: . Это выполняется при . Лемма доказана.

Из леммы следует, что - оператор, переводящий функцию в функцию , которая по Утверждению Привалова является также непрерывной по Гёльдеру на с тем же показателем .

< Предыдущая		Следующая >