77. Теорема о существовании решения задачи Неймана

Пусть - односвязная жорданова область с гладкой границей и непрерывна на , тогда задача Неймана заключается в нахождении гармонической функции в , такой, что , где - внешняя нормаль к в точке .

Теорема: Необходимое условие для существования решения задачи Неймана является также и достаточным.

Доказательство: Зафиксируем точку . Пусть - дуга с началом в и концом в в положительном направлении обхода (см. рисунок) и пусть . Из условия теоремы следует, что непрерывна на и . В области существует решение задачи Дирихле – гармоническая функция , такая, что . Так как - односвязная область, в ней существует гармонически сопряженная к функция . Покажем, что эта функция и есть решение задачи Неймана. Примем без доказательства, что , а следовательно и имеют в частные производные, непрерывные вплоть до границы и запишем условие Коши-Римана в точке : , где - касательная к точке , направленная в положительном направлении обхода (см. рисунок в параграфе 77). Подставляя в это условие условие задачи Дирихле для функции , получаем при : . Что и требовалось. Теорема доказана.

< Предыдущая		Следующая >