74. Задача Дирихле (первая краевая задача)

Опр: Пусть - жорданова односвязная область с границей и - непрерывная функция на . Задача Дирихле: Найти гармоническую функцию, непрерывную в вплоть до границы, такую, чтоб : .

1) Единственность решения: Пусть - два решения. Тогда и - гармоническая в И . По принципу экстремума следует, что есть минимум и максимум в в , откуда следует единственность решения.

2) Существование решения в единичном круге: Если и непрерывна на , то З. Д. имеет решение .

Доказательство: - гармоническая как интеграл от вещественной части аналитической функции (см. формулу Шварца из параграфа 74). Покажем, что . Заметим, что и , где . Указанную выше формулу можно расписать: . В силу формулы Пуассона для : (*). Следовательно, . В силу непрерывности на (**). Тогда . Оценим эти интегралы. В силу формул (*) и (**): . Выбрав , возьмем настолько близким к , чтобы выполнялось . Тогда: , где . В результате для . Что и требовалось. Существование решения в единичном круге доказано.

3) Утверждение: В односвязной области существует единственное решение З. Д.

Доказательство: Из (1) единственность. По теореме Римана - конформное отображение. Пусть . В силу конформности непрерывна на . Из (2) Решение в круге . Тогда по свойству композиции будет гармонической, и есть решение задачи Дирихле. Утверждение доказано.

< Предыдущая		Следующая >