71. Гармонические функции

Опр: Пусть и - вещественная функция непрерывно дифференцируемая в . Тогда называется Гармонической в , если выполняется уравнение Лапласа: .

Утверждение: Если - аналитическая функция в , то - гармонические функции.

Доказательство: Условия Коши-Римана: , отсюда следует, что и . Утверждение доказано.

Опр: Функция называется Гармонически сопряженной к гармонической функции , если для этих функций выполняются условия Коши-Римана.

Утверждение: гармонически сопряжены - аналитическая.

Теорема: Если - гармоническая функция в односвязной области , то - гармонически сопряженная к ней функция.

Доказательство: Пусть и , тогда получаем дифференциальные уравнения для функции : и - полный дифференциал в односвязной области существует первообразная этой дифференциальной формы. Пусть , тогда , где - гладкий путь, соединяющий и некоторую точку . Теорема доказана.

Следствие: В односвязной области любая гармоническая функция является действительной частью некоторой аналитической функции.

< Предыдущая		Следующая >