67. Аналитическая функция вещественной переменной

Опр: Пусть и - вещественная функция называется Аналитической на , если такой, что и .

Утверждение: Если - вещественная аналитическая функция на , то - область, такая, что и симметрична относительно вещественной оси и аналитическая в , такая, что .

Доказательство: Пусть в , - радиус сходимости ряда. Тогда имеет тот же радиус сходимости и аналитична в круге сходимости. Возьмем конечное покрытие и в каждом круге построим . Тогда , тогда . Покажем корректность определения функции . Пусть , покажем, что . - интервал на вещественной оси (см. рисунок) по внутренней теореме единственности там, где они одновременно определены определена корректно и аналитична. Утверждение доказано.

Утверждение: Пусть , где - вещественные аналитические функции, тогда - область, симметричная относительно вещественной оси такая, что и аналитическая в , такая, что .

Доказательство: Из предыдущего утверждения следует, что аналитическая в такая, что и аналитическая в такая, что . Тогда функция является аналитической в , как сумма аналитических функций и легко видеть, что . Утверждение доказано.

< Предыдущая		Следующая >