62. Лемма о раздутии
Лемма: Пусть 
- односвязная область такая, что 
. Тогда существует конформное отображение 
такое, что 
и 
.
Доказательство: Так как 
, то 
и в силу односвязности 
- кривая, соединяющая 
и 
такая, что 
(см. рисунок). Пусть 
. Тогда 
, 
, это отображение переводит круг в себя, со смещением центра. Производная: 
. Кривая 
соединяет 
и , 
, 
, 
. Пусть 
- непрерывная ветвь в области 
. Эта функция «разворачивает» круг в область, изображенную на втором рисунке (область, закрашенная серым цветом, лежащая в единичном круге). 
, 
, где рассматривается та же ветвь корня. 
, 
. Пусть 
. Эта функция переводит единичный круг в себя, переводя точку 
в ноль, причем 
и 
. Тогда искомая функция есть 
.
Действительно, 
, 
, 
в силу того, что 
и 
Лемма доказана.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
