63. Теорема Римана (случай ограниченной области)

Теорема: Пусть - ограниченная односвязная область и . Тогда существует конформное отображение такое, что .

Доказательство: Пусть - семейство всех конформных отображений . Так как ограничена, то . Легко видеть, что , . Рассмотрим функционал для . Пусть . Покажем, что . Пусть , тогда . По обобщенной лемме Шварца не зависит от . Покажем, что . По определению супремума: . По принципу компактности такая, что равномерно на компактах из . По теореме Вейерштрасса аналитическая и однолистная, то есть - конформное отображение, . , и в то же время . Предположим, что . Но по определению и по лемме о раздутии существует конформное отображение такое, что и . Тогда и , что невозможно, так как есть . Противоречие . Теорема доказана.

< Предыдущая		Следующая >