55. Мероморфные функции
Опр: Пусть - область в . Функция , имеющая в только изолированные ОТ, являющиеся полюсами, называется мероморфной.
Замечание: На любом компакте количество полюсов функции конечно в силу их изолированности.
Утв: Мероморфная функция, имеющая на конечное число полюсов является дробно-рациональной.
Доказательство: Рассмотрим ряд Лорана в точке : , и пусть . Аналогично, в точке : и . Рассмотрим теперь функцию . По построению легко видеть, что аналитична на и , а значит ограничена на всей и по теореме Лиувилля следует, что . Тогда , что и требовалось. Утверждение доказано.
Пример мероморфной функции с бесконечным числом полюсов на : . Особые точки , полюсы второго порядка.
< Предыдущая | Следующая > |
---|