54. Топологическое свойство аналитической функции

Теорема: При отображении, осуществляемом аналитической функцией, образ открытого множества есть открытое множество.

Доказательство: Пусть , где - аналитическая функция и - открытое множество. Покажем, что - открытое, то есть, что . Возьмем , очевидно, что . Рассмотрим функцию , которая является аналитической и, кроме того, . Так как , то и нули этой функции изолированы, то есть , в которой нет других нулей функции , кроме . Пусть , тогда - замкнутая кривая, не проходящая через ноль. Тогда . Пусть - некоторое фиксированное число такое, что . Тогда имеем: и по теореме Руше функции и имеют одинаковое число нулей с учетом порядка в круге . , следовательно, , то есть . Так как выбиралось произвольное с условием , то отсюда следует, что. Следовательно, любая точка из содержится в ней вместе с некоторой окрестностью , что означает, что - открыто. Теорема доказана.

< Предыдущая		Следующая >