40. Внутренняя теорема единственности

Теорема: Пусть - аналитическая в , и существует последовательность , тогда в .

Доказательство:

1) Покажем, что если и , то в некоторой окрестности точки . Возможны две ситуации: и . В первом случае есть ноль порядка для функции и , где В некоторой окрестности в силу непрерывности, а значит в некоторой проколотой окрестности . Это противоречит тому, что в любой окрестности точки есть бесконечно много (по определению сходимости) . Следовательно первый случай невозможен и , что означает в некоторой окрестности точки .

2) покажем теперь, что в . Рассмотрим множество всех предельных точек нулей функции:. Заметим, что . В силу пункта (1) . Следовательно . Пусть есть предельная точка для . Так как состоит из нулей функции , значит есть предельная точка нулей . Тогда - открытое и - открытое, как объединение двух открытых множеств. Но , а - область - связное множество нельзя разбить на два непересекающихся открытых подмножества либо , либо , но , следовательно . Теорема доказана.