39. Поведение функции вблизи особой точки
1) Пусть - изолированная ОТ функции . В случае устранимой ОТ ряд Лорана превращается в ряд Тейлора: - в проколотой окрестности. Пусть . Эта функция аналитична в окрестности , , . Если доопределить , то мы получим функцию, аналитическую в точке . Формально: .
Утв: Если - устранимая ОТ для , то существует конечный предел .
2) В случае полюса -того порядка имеем: . Пусть , тогда - в проколотой окрестности . Функция аналитична в окрестности и . в проколотой окрестности . в силу непрерывности не обращается в нуль в некоторой окрестности .
Утв: Если - полюс для функции , то .
Опр: Порядком функции в точке называется величина , где - коэффициенты лорановского разложения.
1) Случай соответствует случаю существенно особой точки.
2) Случай соответствует случаю полюса.
3) Случай означает, что в некоторой проколотой окрестности точки .
4) Случай означает, что является нулем порядка .
В последнем случае , где .
Утв: Если - нуль порядка для функции , то в некоторой окрестности точки имеет место: , где - аналитическая и в этой окрестности.
Вывод: Нули конечного порядка являются изолированными, т. е. существует проколотая окрестность нуля, в которой функция в ноль не обращается.
Утв: - ноль порядка для тогда и только тогда, когда - полюс порядка для .
< Предыдущая | Следующая > |
---|