41. Поведение функции в окрестности существенно особой точки
Утв: Пусть 
- изолированная ОТ для 
. Если ограничена в окрестности , то - устранимая ОТ.
Доказательство: 
, где 
, 
. Оценим интеграл: 
, где 
По условию ограниченности. Для 
в силу произвольности 
, получаем, что 
. Утверждение доказано.
Следствие: устранимая ОТ для 
.
Доказательство: 
- смотри параграф 41. 
следует из утверждения. Следствие доказано.
Утв: Пусть - изолированная ОТ для . Если 
, то - полюс.
Доказательство: 
, где 
. Рассмотрим 
в 
. Так как 
в , то 
аналитична в ней. И является для нее изолированной ОТ. 
, значит для является устранимой ОТ. Доопределим: 
. Получаем - аналитическая в 
и - нуль функции . Так как 
в , то - нуль конечного порядка 
. Следовательно 
, где 
в 
И 
, где 
в , где 
. Это означает, что - устранимая ОТ для 
и полюс порядка для . Утверждение доказано.
Выводы:
1) - устранимая ОТ 
2) - полюс
3) - существенно ОТ 
Эти три ситуации взаимоисключающие.
Пример существенно особой точки: 
Разложение в ряд Лорана в окрестности нуля: 
. Различные пределы: 
, 
.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
