26. Принцип максимума модуля

Теорема: Пусть аналитична в и . Если , в которой, то в . Иными словами, модуль не постоянной функции не может достигать своей верхней границы внутри области аналитичности - только на ее границе.

Доказательство: Пусть и . Рассмотрим множество точек из , в которых . Известно, что . Покажем, что открыто. Пусть. По теореме о среднем достаточно малого :

. Отсюда: . Из условия верхней границы: на . Обозначим на . Тогда имеем: , но , как площади фигур (см. рисунок). Отсюда следует равенство.

, а отсюда получаем, что . Мы показали, что если , то . Отсюда следует, что открыто (любая точка лежит в нем вместе с окрестностью). Рассмотрим множество . Покажем, что оно открыто. - непрерывная вещественная функция это неравенство выполняется в некоторой окрестности точки - открыто. Следовательно, область образуется двумя открытыми непересекающимися множествами, а значит является двусвязным, как область, следовательно либо , либо . Но известно, что . Следовательно является константой на всей .

Получили: . В силу аналитичности функции (а значит, и аналитичности модуля) имеем:

Заменив здесь по условиям Коши-Римана частные производные и решив относительно них систему алгебраических уравнений с ненулевыми коэффициентами, нетрудно получить, что . Следовательно . Теорема доказана.

< Предыдущая		Следующая >