21. Понятие первообразной
Пусть 
непрерывна в области 
.
Опр: Аналитичная в 
функция 
называется Первообразной для 
, если 
.
Опр: Пусть 
и 
непрерывны в . 
- дифференциальная форма. Функция 
в называется Первообразной для дифференциальной формы 
, если 
выполняется: 
. И если эта первообразная существует, то верна формула: 
(аналог формулы Ньютона-Лейбница).
Теорема о существовании первообразной: Если дифференциальные формы 
и 
имеют в первообразные и 
соответственно, то функция 
также имеет первообразную 
.
Доказательство: Пусть 
в из этих равенств и определения 
и 
следует следующее: 
; Это означает, что функции 
и 
Непрерывно-дифференцируемы в и для них выполняются условия Коши-Римана. Значит функция 
удовлетворяет условиям Коши-Римана и имеет производную 
. Это означает, что есть первообразная для . Эти рассуждения верны и в обратную сторону. Теорема доказана.
Следствие: Для любой гладкой дуги 
в области имеет место формула Ньютона-Лейбница: 
Отсюда следует, что значение интеграла зависит от выбора точек 
И не зависит от выбора пути , который их соединяет. Пусть 
- некоторая точка в , тогда значение производной в любой точке области можно посчитать по формуле: 
, где 
- кусочно-гладкий путь из в 
.
Сведения из математического анализа:
Опр: Дифференциальная форма называется Точной в области , если она имеет первообразную, то есть 
.
Опр: Дифференциальная форма называется Локально точной в , если 
существует окрестность (круг 
), в которой является точной.
Теорема: Если - односвязная область, то любая локально-точная дифференциальная форма в ней является точной.
Следствие: Если - односвязная область, то из локального существования первообразной для непрерывной функции следует существование первообразной для этой функции во всей области.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
