20. Гладкие дуги, гладкие кривые и интеграл от функции комплексного переменного
Рассмотрим непрерывную функцию 
. 
непрерывна по 
.
Опр:
называется Гладким путем, если 
и 
. 
- начало и конец пути. Если 
Иньективно, т. е. 
, то дуга 
называется Гладкой дугой с началом в 
и концом в 
.
Опр: Жорданова дуга 
с концами в и называется Гладкой, если существует ее гладкая параметризация, т. е. непрерывно-дифференцируемое отображение 
, осуществляющее гомеоморфизм 
на 
такое, что 
на 
.
Опр: Жорданова дуга называется Кусочно-гладкой, если существует конечный набор точек 
, последовательно расположенных на , такой, что 
, где 
от 
до 
- гладкая дуга.
Опр: Жорданова кривая называется Гладкой, если существует ее параметризация 
, где 
- единичная окружность и 
.
Опр: Пусть - гладкая дуга от к . Функция 
задана на и непрерывна. Интегралом по дуге от к функции 
называется величина:
В формуле стоят криволинейные интегралы второго рода.
Иначе формулу можно записать так: 
Свойства интеграла: 1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
, где 
- элемент дуги.
Дополнительные замечания:
1) Выберем параметризацию 
. Тогда имеем следующее: 
и 
2) 
, тогда:
3) Если - кусочно-гладкая, то 
4) Положительное направление обхода области (см. рисунок) – такой обход, при котором область остается слева.
Пусть 
, тогда 
. Где слева стоит интеграл в положительном направлении, а справа – в отрицательном (в обозначении отрицательного направления в дальнейшем над обозначением дуги будет стоять черта).
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
