18. Комплексная логарифмическая функция
- экспоненциальная функция периодична. Рассмотрим, куда переходят область , и дуга при экспоненциальном отображении:
- луч под углом к оси .
- комплексная плоскость без неотрицательной части .
Отсюда многозначность логарифма: .
Рассмотрим :, отсюда: . Получаем формулу комплексного логарифма: .
Эта функция определена всюду при . Выделение непрерывной ветви для нее сводится к выделению непрерывной ветви аргумента.
Утверждение: Пусть-односвязная область и , тогда и , где существует единственная непрерывная ветвь функции в области такая, что , где - непрерывная ветвь аргумента в области .
Построение римановой поверхности логарифма:
Логарифм отображает риманову поверхность на комплексную плоскость (смотри рисунок).
Обозначения на рисунке:
,
.
Прямые стрелки на рисунке показывают, какая область куда отображается при экспоненциальном отображении.
Риманова поверхность строится из областей путем Склеивания:
Низ разреза области то есть
Отождествляется с верхом разреза области то есть . Получается винтовая поверхность с выколотой точкой . Это и есть риманова поверхность логарифма . На ней функция логарифма является однозначной функцией. Ноль и бесконечность являются точками ветвления для римановой поверхности. Односвязная область, не содержащая точки , попадает на один лист и, соответственно, проецируется в область на . Двусвязная область, огибающая не попадает на один лист римановой поверхности и не проецируется в область на .
< Предыдущая | Следующая > |
---|