10. Производная по комплексной переменной. Условия Коши-Римана
Пусть и функция определена в окрестности .
Опр: Если существует конечный , где - переменная, а выражение под знаком предела есть функция , определенная в окрестности нуля, то по определению этот предел есть Производная функции в точке : . Сама функция в данном случае называется Дифференцируемой в комплексном смысле.
Теорема Коши-Римана: Пусть определена в окрестности . Для существования производной в необходимо и достаточно:
1) и - дифференцируемы в вещественном смысле в точке
2) выполняются Условия (C-R) Коши-Римана: В точке
При этом
Доказательство:
Необходимость: Пусть , или . Тогда обозначим - бесконечно малая величина. ,.
Здесь - бесконечно малая величина более высокого порядка, чем .
Тогда
дифференцируемы в И существует полный дифференциал: откуда по определению полного дифференциала следует, что . Это и есть устолия (C-R). А также .
Достаточность: Пусть выполнены условия дифференцируемости функций и
и условия (C-R) .
Тогда
Где бесконечно малые величины и более высокого порядка, чем . Далее имеем:
Тогда так как более высокого порядка, чем .
Теорема доказана.
Примечание: Свойства производных и производные элементарных функций остаются теми же, что и для вещественной производной.
< Предыдущая | Следующая > |
---|