08. Круг сходимости степенного ряда

Рассмотрим степенной ряд . Пусть - множество точек сходимости ряда. т. к. .

Опр: Радиусом сходимости ряда называется величина .

Возможны три случая:

1)

2) . По первой теореме Абеля ряд сходится в любой точке открытого круга и расходится при . Последнее утверждение легко доказать от противного.

Опр: - Круг сходимости степенного ряда.

3) . Ряд сходится на всей комплексной плоскости. Это тоже легко показать, используя первую теорему Абеля, так как любую точку можно описать кругом, на границе которого есть точка, в которой ряд сходится. Кругом сходимости в данном случае является вся комплексная плоскость.

В своем круге сходимости в силу первой теоремы Абеля ряд сходится абсолютно и равномерно на любом компактном подмножестве. Сумма степенного ряда поэтому есть непрерывная функция в его круге сходимости.

Формула Коши-Адамара: если предел в знаменателе этой дроби конечный и положительный. Если этот предел нулевой, то . Если предел бесконечный, то

Доказательство: Пусть . Рассмотрим вещественный ряд . Из курса матанализа известно, что радиус сходимости этого ряда вычисляется по указанной формуле. И он сходится при и расходится для Пусть .

1) Ряд Сходится при . Следовательно, комплексозначный ряд сходится в круге с радиусом , построенном по формуле Коши-Адамара. Значит, радиус сходимости не меньше указанного .

2) - числа на прямой . Пусть и ряд сходится в . Тогда Сходится абсолютно, т. е. сходится И Интервалу сходимости ряда . Противоречие. радиус сходимости не превосходит .

Из 1 и 2 заключаем, что радиусы сходимости рядов И совпадают и вычисляются по формуле Коши-Адамара.

< Предыдущая		Следующая >