12. Представление действительных чисел цепными дробями общего вида

Рассмотренные до сих пор правильные бесконечные и конечные цепные дроби являются частным случаем бесконечных и конечных цепных дробей общего вида:

(1),

Когда в них принимается, что все , , а остальные .

В общем случае элементы цепной дроби и , k>1 могут принимать произвольные, отличные от 0 рациональные значения, а может также быть равно нулю.

При помощи цепных дробей общего вида одно и то же рациональное число можно представить различными способами. Например, .

В цепной дроби (1), которую записывают также иначе, например, () или () числа и (k=2, 3, …) называют звеньями, и – членами k–го звена, из них – частным числителем, а – частным знаменателем.

Чтобы получить разложение рационального числа в конечную цепную дробь (1), можно все и , за исключением одного, выбрать произвольно.

Можно, например, найти разложение ; для этого следует положить . Можно цепную дробь преобразовать так, чтобы все были равны 1, то есть, чтобы (1) приняло вид (2).

Так, например, . Дроби вида (2) называют обыкновенными цепными дробями, а , , …, – их неполными частными. Правильные цепные дроби можно поэтому определить как обыкновенные цепные дроби с целыми положительными неполными частными, начиная с , причем может быть любым целым числом.

Правильные цепные дроби являются наиболее простыми и наиболее изученными среди цепных дробей общего вида, однако и другие цепные дроби играют большую роль и имеют важные применения, например, в приближенном анализе, где при их помощи без сложных выкладок получают дробно-рациональные приближения функций.

Рассмотрим обзорно некоторые свойства цепных дробей общего вида.

Происхождение таких цепных дробей связано с обобщенным алгоритмом Евклида.

Если мы имеем систему равенств , , , … с произвольными рациональными числами, то при b, c, d0, из них следуют равенства , , , …, так что, подставляя по цепочке, получаем .

K-я подходящая дробь определяется для по формуле при условии, что , , , .

Пользуясь ею, найдем, например, подходящие дроби для разложения . Имеем =, , , , , . Заметим, что получаемые в процессе рекуррентного вычисления подходящие дроби могут быть сократимыми, но сокращать их можно лишь при определенных условиях.

Свойства подходящих дробей цепных дробей общего вида с положительными элементами и правильных цепных дробей вполне аналогичны.

Бесконечная цепная дробь (1) называется сходящейся, если существует конечный предел ; в таком случае принимается за значение этой дроби. Не всегда общие бесконечные цепные дроби являются сходящимися, даже тогда, когда они имеют лишь положительные элементы.

Существует ряд признаков сходимости цепных дробей:

Пусть дана непрерывная дробь вида

, где ,

1) Пусть , все члены последовательностей , действительные числа и для всех , начиная с некоторого. Если для таких k выполняется неравенство , то цепная дробь сходится.

2) Пусть и все члены последовательности , начиная с k=2 положительны. Тогда цепная дробь сходится тогда и только тогда, когда ряд расходится (теорема Зейделя).

Интересной особенностью цепных дробей общего вида является то, что даже рациональные числа могут ими разлагаться в бесконечные цепные дроби. Например, имеется разложение

=, , , , , …

0,3; 0,42; 0,45; 0,467; …

Примечательно то, что квадратические иррациональности разлагаются и в непериодические цепные дроби общего вида.

Например, имеется разложение

=, , , , , , , …

1; 1,5; 1,38; 1,44; 1,40; …

Но самое интересное и важное это то, что в то время как до настоящего времени неизвестно разложение в правильную цепную дробь ни одной алгебраической иррациональности степени выше второй (другими словами, неизвестны общие свойства неполных частных таких разложений, разложения сами по себе со сколь угодной точностью можно практически найти), при помощи общих цепных дробей такие разложения находятся довольно легко. Отметим, например, некоторые разложения и соответствующие подходящие дроби для :

=, , , , , , …

1,33; 1,22; 1,284.

=, , , , , , …

1,17; 1,25; 1,258; 1,2596; …

Приведем еще несколько примеров разложений других иррациональностей в цепные дроби общего вида:

=, , , , , , …

Эта цепная дробь для была найдена еще более 300 лет назад английским математиком Брункером.

=, , , , , , ,

В 1776 году И. Ламберт нашел разложение tg x в цепную дробь: tg x=

А. Лежандр в предположении, что эта цепная дробь сходится, показал, что ее значение для рациональных значений x иррационально. Принято считать, что тем самым была доказана иррациональность числа .

Л. Эйлер нашел, что: =(1; 6, 10, 14, …). Также Эйлер нашел разложение в цепную дробь числа e. e=(2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, …), то есть элементы разложения e в цепную дробь имеют вид:

, ,

Швейцарский математик Иоганн Генрих Ламберт (1728-1777) нашел разложение числа в виде цепной дроби.

Первые 25 неполные частные разложения числа в правильную цепную дробь есть числа:

3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1.

< Предыдущая		Следующая >