38.1. Оригинал и изображение

Функцией-оригиналом называется любая комплекснозначная функция вещественной переменнойJ удовлетворяющая следующим условиям:

1.Интегрируема на любом конечном промежутке оси(локально интегрируема).

2.Для всех

3.Возрастает не быстрее показательной функции, т. е. существуют такие постоянныеИЧто для всех

Нижняя граньВсех чисел. для которых выполняется это неравенство, называется показателем роста функции

Простейшей функцией-оригиналом является единичная функция Хевисайда

(38.1)

Очевидно, что

ЕслиУдовлетворяет условиям 1 и 3, тоЯвляется функцией-оригиналом.

Для сокращения записи вместоПишут, считая, чтоПри

Изображением функцииНазывается функцияКомплексной пере

МеннойОпределяемая формулой

(38.2)

Интеграл в правой части равенства называют интегралом Лапласа, а переход от оригинала к его изображению - преобразованием Лапласа.

Тот факт, чтоЯвляется изображениемСимволически записывают так:

И называют операционным (или операторным) равенством. Употребляют и другие обозначения, например:

Теорема 38.1. ФунщияОпределена в полуплоскостиГде

- показатель ростаИ является в этой полуплоскости аналитической функцией. Следствие. ИзображениеЕслиТак, что

Неограниченно возрастает, аНаходится в полуплоскости

Теорема 38.2. Преобразование Лапласа

Единственно в том смысле, что две функцииИ, имеющие одинаковые преобразования Лапласа, совпадают во всех точках непрерывности для всех Пример 38.1. Показать, что функция

Является функцией-оригиналом.

Убедимся в том, что все три условия, определяющие функцию-оригинал, выполняются для данной функции. Действительно, функцияЛокально интегрируема: интеграл